Operador traspuesto

Proporcionamos ejercicios sobre el operador traspuesto.

TEORÍA

1 En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar $\langle x,y\rangle=2x_1y_1+3x_2y_2$ (siendo $x=(x_1,x_2)^t,$ $y=(y_1,y_2)^t$), se considera el operador $$T(x_1,x_2)=(x_1-2x_2,4x_1+5x_2).$$ Determinar su operador traspuesto.

SOLUCIÓN

2 Se considera el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}_2[x],\langle\;,\; \rangle\right)$ siendo $\langle p,q\rangle=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$

$(i)\;$  Comprobar que  $B=\{p_1=1, \;p_2=\sqrt {3}x,\;p_3=(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3)\}$ es base ortonormal.
$(ii)$  Determinar en la base $B$ la matriz del operador traspuesto del operador $T$ en $\mathbb{R}_2[x]$ definido mediante $T(p_1)=2p_1-p_3,$  $T(p_2)=2p_2+5p_3,$  $T(p_3)=p_3.$

SOLUCIÓN

3 Sea $S$ y $T$ dos operadores en un espacio euclídeo de dimensión finita $E,$ y $\lambda\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$(S+T)^t=S^t+T^t,\;\;(\lambda T)^t=\lambda T^t,\;\;(S\circ T)^t=T^t\circ S^t.$$

SOLUCIÓN

4  Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión finita $n,$ y $E^*$ su dual. Demostrar que la aplicación  $F:E\to E^*,\;\; F(a)=f_a\text{ con }f_a(x)=\left<a,x\right>$ es un isomorfismo.

SOLUCIÓN

5  Sea $E$ espacio euclídeo de dimensión finita y $T:E\to E$ un operador (es decir, un endomorfismo). Demostrar que existe un único operador $T^t:E\to E$ tal que: $$\langle v,T(w)\rangle=\langle T^t(v),w\rangle\quad \forall v,w\in E.$$

SOLUCIÓN

6  Sea $T$ un operador en un espacio euclídeo de dimensión finita y $B$ una base de $E.$
Sea $A$ la matriz de $T$ en la base $B$ y $G$ la matriz de Gram en la base $B.$ Demostrar que la matriz de $T^t$ en la misma base $B$ es $G^{-1}A^tG.$

SOLUCIÓN

7  Demostrar las propiedades
$(a)\;$ $\left(T^t\right)^t=T.$
$(b)\;$ $\ker T=\left(\text{Im } T^t\right)^{\perp},\;\;\ker T^t=\left(\text{Im } T\right)^{\perp}.$

SOLUCIÓN

8  Demostrar las propiedades
$(a)\;$ $T$ y $T^t$ tienen el mismo polinomio característico, en consecuencia los mismos valores propios.
$(b)\;$ Dos subespacios propios, uno de $T$ y otro de $T^t$ que corresponden a dos valores propios distintos son ortogonales.

SOLUCIÓN
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