Operador ortogonal

Proporcionamos ejericios sobre el operador ortogonal.

TEORÍA

1 Comprobar que en $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual, el siguiente operador es ortogonal $$T\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de un operador ortogonal $T$ en un espacio euclídeo $E,$ entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que: $T$ es ortogonal $\Leftrightarrow \left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|\;\;\forall x\in E.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que todo operador ortogonal en un espacio euclídeo es isomorfismo.

SOLUCIÓN

5  Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que un operador en un espacio euclídeo $E$ sea ortogonal, es que transforme una base ortonormal en otra ortonormal.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que un operador en un espacio euclídeo $E$ es ortogonal si, y sólo si su matriz en una base ortonormal es ortogonal.

SOLUCIÓN
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