Matrices hermíticas

Proporcionamos ejercicios sobre matrices hermíticas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la suma de dos matrices hermíticas de $\mathbb{C}^{n\times n}$ es hermítica y que el producto de un número real por una matriz hermítica también lo es.
  2. Demostrar que todos los valores propios de una matriz hermítica son reales.
  3. Hallar los valores y vectores propios de la matriz hermítica $$A=\begin{bmatrix}{3}&{2+2i}\\{2-2i}&{1}\end{bmatrix}.$$
    Solución
  1. Sean $A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ hermíticas, entonces $$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*=A+B\Rightarrow A+B\text{ es hermítica.}$$ Sean $\lambda\in\mathbb{R}$ y $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ hermítica. Se verifica $\overline{\lambda}=\lambda,$ por tanto $$(\lambda A)^*=\overline{\lambda} A^*=\lambda A \Rightarrow \lambda A\text{ es hermítica.}$$
  2. Sea $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ hermítica y sea $x\in\mathbb{C}^n$ un vector columna. Vamos a demostrar previamente que $x^*Ax$ es un número real. En efecto, $$\overline{x^*Ax}=\overline{\overline{x^t}Ax}=x^t\overline{A}\overline{x}.$$ La matriz $x^t\overline{A}\overline{x}$ es de orden $1\times 1,$ lo cual implica que es simétrica. Es decir, $$\overline{x^*Ax}=x^t\overline{A}\overline{x}=\left(x^t\overline{A}\overline{x}\right)^t=\left(\overline{x}\right)^{t}\left(\overline{A}\right)^t\left(x^t\right)^t=x^*A^*x=x^*Ax.$$ Como $x^*Ax$ coincide con su conjugado, es un número real.
    Si $\lambda$ (a priori complejo) es un valor propio de $A,$ existe un vector columna $x=(x_i)\in\mathbb{C}^n$ no nulo tal que $Ax=\lambda x.$ Multiplicando a la izquierda por $x^*$ queda $x^*Ax=\lambda x^*x.$ Teniendo en cuenta que $$x^*x=\begin{pmatrix}\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}=\overline{x_1}x_1+\cdots+\overline{x_n}x_n$$ $$=\left|x_1\right|^2+\ldots +\left|x_n\right|^2>0,$$ el valor de $\lambda$ es por tanto $\lambda=\dfrac{x^*Ax}{x^*x}\in\mathbb{R}.$
  3. Valores propios de $A:$ $$\chi (\lambda)=\lambda^2-(\text{tr }A)\lambda+\det A=\lambda^2-4\lambda -5=0\Leftrightarrow \lambda=5\vee \lambda=-1.$$ Subespacios propios: $$V_5\equiv \left \{ \begin{matrix} -2x_1+(2+2i)x_2=0\\(2-2i)x_1-4x_2=0\end{matrix}\right.,\quad V_{-1}\equiv \left \{ \begin{matrix} 4x_1+(2+2i)x_2=0\\(2-2i)x_1+2x_2=0.\end{matrix}\right.$$ Unas bases de estos subespacios propios son respectivamente: $$B_{5}=\{(2,1-i)\},\quad B_{-1}=\{(1,-1+i)\}$$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.