Matrices unitarias

TEORÍA

1 Comprobar que $U=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{-1+i}\\{1+i}&{1}\end{bmatrix}$ es matriz unitaria.

SOLUCIÓN

2  Identificar las matrices unitarias reales.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que una matriz $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ es unitaria si, y sólo si sus vectores columnas forman un sistema ortonormal con el producto escalar complejo usual.

Aplicación. Comprobar que  $M=\begin{bmatrix}{0}&{i}\\{-i}&{0}\end{bmatrix}$ es unitaria.

SOLUCIÓN

4  Demostrar que:
$1.$  El producto de matrices unitarias y del mismo orden es unitaria.
$2.$  La matriz identidad es unitaria.
$3.$  La inversa de una matriz unitaria es unitaria.
Nota. Estas propiedades demuestran que el conjunto de las matrices unitarias de orden $n$ es subgrupo multiplicativo del grupo multiplicativo de la matrices invertibles de $\mathbb{C}^{n\times n}.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar el módulo del determinante de una matriz unitaria es igual a $1.$

SOLUCIÓN
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