Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de producto escalar complejo y espacio unitario.

TEORÍA
1 Demostrar que en todo espacio unitario $E$ y para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ $x,y,z\in E$ se verifica
$\begin{aligned}&1.\;\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.\\&2.\; \langle x,\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\langle x,y\rangle.\\&3.\;\langle x,0\rangle=\langle 0, y\rangle=0.\end{aligned}$

SOLUCIÓN
2 Dados dos vectores $x=(x_j),$  $y=(y_j)$ de $\mathbb{C}^n$  se define $$\langle x,y \rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots +x_n\overline{y_n}.$$ Demostrar que es un producto escalar complejo (se le llama producto escalar usual en $\mathbb{C}^n$).

SOLUCIÓN
3 Hallar $\langle x,y\rangle,$ siendo $x=(1+3i,-2i,1,5)^t,$  $y=(1+i,1,0,-2+3i)$ con $\langle \;,\;\rangle$ el producto escalar usual en $\mathbb{C}^4.$

SOLUCIÓN
4 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $E=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;f\text{ continua.}\}.$ Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt$$ es un producto escalar en $E.$

SOLUCIÓN
5 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\sum x_j\overline{y_j}$$ es un producto escalar en $E.$

SOLUCIÓN

6  Sea $B=\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base ortonormal de un espacio vectorial real o complejo con producto escalar. Probar que todo $u$ perteneciente a $V$ se puede escribir como: $u=\sum_{j=1}^n\langle u, v_j\rangle v_j.$

SOLUCIÓN
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