Matriz adjunta

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz adjunta.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Dada $A=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}&{4i}\\{1+i}&{-2}&{2-3i}\end{bmatrix},$ calcular $A^*.$
  2. Demostrar que,
    $a)$ $\left(A^*\right)^*=A\quad\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}.$
    $b)$ $(A+B)^*=A^*+B^*\quad\forall A,B\in\mathbb{C}^{m\times n}.$
    $c)$ $(\lambda A)^*=\overline{\lambda}A^*\quad\forall\lambda\in\mathbb{C},\;\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}.$
    $d)$ $(AB)^*=B^*A^*\quad\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}\;\forall B\in\mathbb{C}^{n\times p}.$
    Solución
  1. Tenemos, $$A^*=\left(\overline{A}\right)^t=\begin{bmatrix}{1}&{1+i}&{-4i}\\{1-i}&{-2}&{2+3i}\end{bmatrix}^t=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}\\{1+i}&{-2}\\{-4i}&{2+3i}\end{bmatrix}.$$ O bien, $$ A^*=\overline{A^t}=\overline{\begin{bmatrix}{1}&{1+i}\\{1-i}&{-2}\\{4i}&{2-3i}\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}\\{1+i}&{-2}\\{-4i}&{2+3i}\end{bmatrix}.$$
  2. $a)$ Usando que el conjugado del conjugado de un número complejo es el propio numero y que la traspuesta de la traspuesta de una matrz es la misma matriz, $$\left(A^*\right)^*=\left(\overline{A^t}\right)^*=\left(\overline{\overline{A^t}}\right)^t=\left(A^t\right)^t=A.$$ $b)$ Usando que el conjugado de la suma de complejos es la suma de los conjugados y que la trapuesta de la suma de matrices es la suma de las traspuestas, $$(A+B)^*=\left(\overline{A+B}\right)^t=\left(\overline{A}+\overline{B}\right)^t=\left(\overline{A}\right)^t+\left(\overline{B}\right)^t=A^*+B^*.$$ $c)$ Usando que el conjugado del producto de complejos es el producto de los conjugados y que la traspuesta de un escalar por una matriz es el escalar por la traspuesta de la matriz, $$(\lambda A)^*=\left(\overline{\lambda A}\right)^t=\left(\overline{\lambda}\;\overline{ A}\right)^t=\overline{\lambda}\left(\overline{ A}\right)^t=\overline{\lambda}A^*.$$ $d)$ Dado que el conjugado de la suma (producto) de complejos es la suma (producto) de los conjugados, se verifica $\overline{AB}=\overline{A}\;\overline{B}.$ Usando además que la traspuesta del producto de matrices es el producto de las traspuestas cambiado de orden, $$(AB)^*=\left(\overline{AB}\right)^t=\left(\overline{A}\;\overline{B}\right)^t=\left(\overline{B}\right)^t\left(\overline{A}\right)^t=B^*A^*.$$
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