Convergencia uniforme de sucesiones de funciones

TEORÍA

1 Demostrar que la sucesión de funciones $$f_n:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=x^n$$ converge puntualmente en $(-1,1)$ pero no uniformemente.

SOLUCIÓN

2 Se considera la sucesión de funciones: $$f_n:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$$ Determinar la función límite puntual $f$ y analizar si  $f_n\to f$ uniformemente.

SOLUCIÓN

3 Demostrar que la sucesión de funciones  $f_n(x)=\dfrac{x}{nx+1}$ converge uniformemente hacia la función nula en el intervalo $(0,1).$

SOLUCIÓN

4  Sea  $I$ un intervalo de la recta real y  $f_n:I\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a la función $f$ en $I.$ Demostrar que $f$ es continua.

SOLUCIÓN

5 Demostrar que que la sucesión de funciones  $f_n:(-1,1]\to \mathbb{R},$  $f_n(x)=x^n$ no converge uniformemente.

SOLUCIÓN

6 Mostrar con un ejemplo que una sucesión de funciones  $f_n$ puede converger a una función continua sin que la convergencia sea uniforme.

SOLUCIÓN

7  Sea  $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a la función $f$ en $[a,b].$ Demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)\;dx=\int_a^b f(x)\;dx.$$

SOLUCIÓN

8 Se considera la sucesión de funciones  $f_n:[0,1]\to \mathbb{R},$  $f_n(x)=nxe^{-nx^2}.$ Comprobar que $$\lim_{n\to \infty}\int_0^1f_n(x)\;dx\neq \int_0^1 \lim_{n\to\infty}f_n(x)\;dx.$$ Esto prueba que en general las operaciones límite e integración no se pueden intercambiar.

SOLUCIÓN

9  Sea  $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ una sucesión de funciones derivables con derivada continua en $[a,b]$ (es decir $f_n\in\mathcal{C}^1[a,b]$). Supongamos que se verifica
$(i)\;$  $f_n\to f$ uniformemente en $[a,b].$
$(ii)$  $f’_n\to g$ uniformemente en $[a,b].$
Demostrar que  $g$ admite derivada continua y además  $f’=g$ en  $[a,b].$

SOLUCIÓN

10  Demostrar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme:
Sea $I\subset\mathbb{R}$ intervalo y  $f_n:I\to\mathbb{R}$ una sucesión de funciones. Entonces,  $f_n$ converge uniformemente a un límite  $f$ en  $I$ si, y sólo si para todo  $\epsilon >0$ existe un número natural  $n_0$ tal que  $m,n\geq n_0$ implica  $\left|f_m(x)-f_n(x)\right|<\epsilon$  para todo  $x\in I.$

SOLUCIÓN
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