Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass

TEORÍA

1 Demostrar que la serie  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en  $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la serie  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en  $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

4 Estudiar la convergencia de la serie numérica: $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx.$$ En caso de ser convergente, hallar su suma.

5  Demostrar el criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de series:

Sea $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ y $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones definidas en $I.$ Supongamos que existe una sucesión de constantes reales $\alpha_n\geq 0$ que satisfacen $\left|u_n(x)\right|\leq \alpha_n$ para todo $x\in I.$ Entonces, si $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$ es convergente, la serie $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ es uniformemente convergente en $I.$

SOLUCIÓN
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