Logaritmo complejo

TEORÍA

1  Demostrar que $z=0$ no tiene logaritmos y que si $z\neq 0$ entonces $$\log z=\log \left|z\right|+i\arg z,$$ en donde $\arg z$ representa el conjunto de los argumento de $z.$

SOLUCIÓN

2  Interpretar $\log z$ como una aplicación de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ en un grupo cociente determinado por un subgrupo del grupo aditivo de los números complejos.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que la aplicación logaritmo es un homomordismo entre el grupo multiplicativo $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y el grupo aditivo $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

4  Determinar los logaritmos principales de los números: $$\sqrt{3}+i,\quad -4,\quad-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad 3i,\quad 9,\quad \sqrt{3}-i.$$

SOLUCIÓN

5  Sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ que no contiene al origen y $\varphi:\Omega \to \mathbb{C}$ una función continua que satisface $e^{\varphi (z)}=z$ para todo $z\in\Omega.$ Demostrar que $\varphi$ es derivable en $\Omega$ y además $\varphi’(z)=1/z$ para todo $ z\in \Omega.$

SOLUCIÓN

6  Demostrar que la rama principal de $\log$ es derivable en $\mathbb{C}\setminus \{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}$ siendo $\log’(z)=\dfrac{1}{z}$ para todo $ z\in \mathbb{C}\setminus \{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}.$

SOLUCIÓN

7  Demostrar que si existe una determinación $\varphi (z)$ de $\log z$ en un abierto conexo  $D\subset \mathbb{C}$ que no contiene al origen, cualquier otra determinación es de la forma $\varphi (z)+2k\pi i$ con $k\in\mathbb{Z}.$ Recíprocamente, $\varphi (z)+2k\pi i$ con $k\in\mathbb{Z},$ es una determinación de $\log z.$

SOLUCIÓN
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