Series enteras o de potencias, radio de convergencia

TEORÍA

1 Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$

SOLUCIÓN

2  Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que:
$i)\;$ Si $\left|x\right|<R$ la serie es absolutamente convergente.
$ii)$ Si $\left|z\right|>R$ la serie es divergente.

SOLUCIÓN

3 Para las siguientes series enteras determinar su radio de convergencia, el intervalo abierto de convergencia absoluta, y estudiar la convergencia en los extremos del intervalo.
$a)\; \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n.\quad b)\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n2^n}.\quad c)\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.\quad d)\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n-1}x^{2n-1}}{(4n-3)^2}.$

SOLUCIÓN

4 Para las siguientes series enteras determinar su radio de convergencia, el intervalo abierto de convergencia absoluta, y estudiar la convergencia en los extremos del intervalo.
$a)\; \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n.\quad b)\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\quad c)\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n5^n}.\quad d)\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+3)^{n}}{n^2}.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar la fórmula de Hadamard:
Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ y $R$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$

SOLUCIÓN

6 Usando la fórmula de Hadamard hallar el radio de convergencia de la serie
$\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n\;,\quad a_{2n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n},\quad a_{2n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1}.$

SOLUCIÓN
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