Series enteras o de potencias, radio de convergencia

TEORÍA
    Enunciado
  1. Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$
  2. Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que:
    $i)\;$ Si $\left|x\right|<R$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $\left|z\right|>R$ la serie es divergente.
  3. Para las siguientes series enteras determinar su radio de convergencia, el intervalo abierto de convergencia absoluta, y estudiar la convergencia en los extremos del intervalo.
    $a)\; \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n.\quad b)\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n2^n}.\quad c)\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.\quad d)\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n-1}x^{2n-1}}{(4n-3)^2}.$
  4. Para las siguientes series enteras determinar su radio de convergencia, el intervalo abierto de convergencia absoluta, y estudiar la convergencia en los extremos del intervalo.
    $a)\; \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n.\quad b)\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\quad c)\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n5^n}.\quad d)\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+3)^{n}}{n^2}.$
  5. Demostrar la fórmula de Hadamard:
    Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ y $R$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$
  6. Usando la fórmula de Hadamard hallar el radio de convergencia de la serie
    $\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n\;,\quad a_{2n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n},\quad a_{2n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1}.$
    Solución
  1. Si la serie converge para $x=x_0,$ entonces $a_nx_0^n\to 0,$ lo cual implica que existe $K\geq 0$ tal que $\left|a_nx_0^n\right|\leq K$ para todo $n.$ Entonces, si $\left |x\right|<\left| x_0\right|:$ $$\left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_0^n\right|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\leq K\left|\frac{x}{x_0}\right|^n.$$ La serie de término general $\left|x/x_0\right|^n$ es geométrica de razón menor que $1,$ luego es convergente. Por el teorema del álgebra de series también lo es la de término general $K\left|x/x_0\right|^n$ y por el criterio de la mayorante, también lo es $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\left|a_nx^n\right|.$
  2. Existencia de $R.$ Llamemos $$S=\{x\in\mathbb{R}:\sum_{n\geq 0}a_nx^n \text{ converge}\},\quad S’=\{\left|x\right|:x\in S\}.$$ Como $0\in S,$ también $0\in S’$ es decir $S’\neq \emptyset.$ Llamemos $R=\sup S’$ (será finito o infinito). Sea $x$ tal que $\left|x\right|<R,$ entonces $\left|x\right|$ no es cota superior de $S’$ lo cual implica que existe $x_0\in S$ con $\left|x\right|<\left|x_0\right|.$ Por el problema anterior, la serie converge absolutamente en $x.$
    Sea $x$ tal que $\left|x\right|>R.$ Si la serie fuera convergente en $x,$ entonces $x\in S$ con lo cual $\left|x\right|\in S’$ y $R$ no sería cota superior de $S’$ (absurdo).
    Unicidad de $R.$ Si existieran dos $R<R’$ cumpliendo las condiciones $i)$ y $ii),$ elijamos $x$ tal que $R<\left|x\right|<R’.$ Entonces la serie sería a la vez absolutamente convergente y divergente en $x$ (absurdo).
  3. $a)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\right|=\lim_{n\to \infty}\left|x\right|=\left|x\right|<1\Leftrightarrow x\in(-1,1).$$ El radio de convergencia es $R=1,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-1,1).$ Para $x=-1$ obtenemos la serie $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n,$ que es divergente pues el término general $(-1)^n$ no tiende a $0.$ Para $x=1$ obtenemos la serie $\sum_{n=0}^{\infty}1,$ que es divergente por las mismas razones.
    $b)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot \frac{n2^{n}}{x^{n}}\right|=\left|x\right|\lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{n}{2(n+1)}\right|$$ $$=\frac{\left|x\right|}{2}<1\Leftrightarrow \left|x\right|<2\Leftrightarrow x\in(-2,2).$$ El radio de convergencia es $R=2,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-2,2).$ Para $x=-2$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n,$ que es condicionalmente convergente (serie armónica alternada) Para $x=2$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n,$ que es divergente (serie armónica).
    $c)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\cdot \frac{2n-1}{x^{2n-1}}\right|=\left|x\right|^2\lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{2n-1}{2n+1}\right|$$ $$=\left|x\right|^2<1\Leftrightarrow \left|x\right|<1\Leftrightarrow x\in(-1,1).$$ El radio de convergencia es $R=1,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-1,1).$ Para $x=-1$ obtenemos la serie $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n/(2n-1),$ que es condicionalmente convergente (criterio de Leibniz). Para $x=1$ obtenemos la serie $\sum_{n=0}^{\infty}1/(2n-1),$ que es divergente (comparación con la serie armónica).
    $d)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{2^nx^{2n+1}}{(4n+1)^2}\cdot \frac{(4n-3)^2}{2^{n-1}x^{2n-1}}\right|=2\left|x\right|^2\lim_{n\to \infty}\dfrac{(4n-3)^2}{(4n+1)^2}$$ $$=2\left|x\right|^2<1\Leftrightarrow \left|x\right|<\sqrt{2}/2\Leftrightarrow x\in(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2).$$ El radio de convergencia es $R=\sqrt{2}/2,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2).$
    Para $x=-\sqrt{2}/2$ obtenemos la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}-\frac{\sqrt{2}/2}{(4n-3)^2},$ que es absolutamente convergente.
    Para $x=\sqrt{2}/2$ obtenemos la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{2}/2}{(4n-3)^2},$ que es también es absolutamente convergente.
  4. $a)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}\right|=\lim_{n\to \infty}(n+1)\left|x\right|=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& x=0 \\+\infty & \mbox{ si }& x\neq 0.\end{matrix}\right.$$ La serie solamente converge para $x=0.$ El radio de convergencia es $R=0.$
    $b)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{x^n}\right|=\left|x\right|\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=0<1,\quad \forall x\in\mathbb{R}.$$ La serie solamente en $(-\infty,+\infty).$ El radio de convergencia es $R=+\infty.$
    $c)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)5^{n+1}}\cdot \frac{n5^n}{(x-3)^n}\right|=\frac{\left|x-3\right|}{5}\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n+1}$$ $$=\frac{\left|x-3\right|}{5}<1\Leftrightarrow \left|x-3\right|<5\Leftrightarrow x\in (-2,8).$$ El radio de convergencia es $R=5,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-2,8).$ Para $x=-2$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n,$ que es condicionalmente convergente (serie armónica alternada). Para $x=8$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n,$ que es divergente (serie armónica).
    $d)\;$ Aplicando el criterio del cociente: $$\displaystyle L=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{(x+3)^{n+1}}{(n+1)^2}\cdot \frac{n^2}{(x+3)^n}\right|=\left|x+3\right|\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}$$ $$=\left|x+3\right|<1\Leftrightarrow x\in (-4,-2).$$ El radio de convergencia es $R=1,$ y el intervalo abierto de convergencia absoluta es $(-4,-2).$ Para $x=-4$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2,$ que es absolutamente convergente. Para $x=-2$ obtenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2,$ que también es absolutamente convergente.
  5. Recordamos que $$\limsup_{n\to +\infty}x_n=\lim_{p\to +\infty}\left(\sup\{x_n:n\geq p\}\right)$$ para $x_n$ sucesión de números reales. Sea la serie de términos positivos:$$\sum_{n= 0}^{+\infty}u_n.\qquad (1)$$
    $i)$ Veamos que si $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}<1,$ la serie $(*)$ converge. En efecto, sea $r$ fijo tal que $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}<r<1.$ Entonces, para $n$ suficientemente grande, $$\sup\{u_m^{1/m}:m\geq n\}<r.$$ Tenemos: $\sup\{u_m^{1/m}:m\geq n\}<r\Rightarrow u_m^{1/m}<r\Rightarrow u_m<r^m.$ Como $|r|=r<1,$ la correspondiente serie geométrica es convergente, luego también lo es la serie $(1).$
    $ii)$ Veamos que si $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}<1,$ la serie $(1)$ diverge. En efecto, sea $r$ fijo tal que $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}>r>1.$ Entonces, y razonando de manera análoga a $i),$ para $n$ suficientemente grande, se verifica $u_m>r^m.$ Como $|r|=r>1,$ la correspondiente serie geométrica es divergente, luego también lo es la serie $(1).$
    Consideremos ahora la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n.\qquad (2)$$ Entonces, si $R\neq 0$ y $R\neq +\infty:$ $$\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_nx^n\right|^{1/n}=\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}\left|x\right|=\left|x\right|\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}<1$$ $$\Leftrightarrow \left|x\right|<\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}}.$$ Por tanto, la serie $(2)$ es absolutamente convergente si, y sólo si se verifica la última desigualdad, en consecuencia $$R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}}.$$ Los casos $R= 0$ y $R= +\infty$ son triviales.
  6. Usamos la propiedad de que el límite superior de una sucesión es el supremo de los límites de las subsucesiones convergentes. En nuestro caso es claro que los límites de las subsucesiones convergentes de $\left|a_n\right|^{1/n}$ son $$\lim_{n\to +\infty}\left|a_{2n}\right|^{1/(2n)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2},$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|a_{2n+1}\right|^{1/(2n+1)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{3}.$$ En consecuencia, $$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}=\sup \{1/2,1/3\}=1/2,$$ por tanto el radio de convergencia es $R=2.$
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