Derivación e integración de series enteras

TEORÍA

1  Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$

SOLUCIÓN

2  Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia.

SOLUCIÓN

3  Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera o de potencias con radio de convergencia $R>0.$ Demostrar que la suma $f(x)$ de la serie es una función con infinitas derivadas en $(-R,R).$ Las derivadas se obtienen derivando término a término la serie dada.

SOLUCIÓN

4  Sea la serie entera  $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ con radio de convergencia  $R$ y de suma  $f(x)$ en  $(-R,R).$ Demostrar que la serie entera $$a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots$$ tiene el mismo radio de convergencia que la serie dada, y que para todo $x\in (-R,R):$ $$\int_0^xf(x)\;dx=a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots.$$

SOLUCIÓN
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