Derivación e integración de series enteras

TEORÍA
    Enunciado
  1. Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$
  2. Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia.
  3. Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera o de potencias con radio de convergencia $R>0.$ Demostrar que la suma $f(x)$ de la serie es una función con infinitas derivadas en $(-R,R).$ Las derivadas se obtienen derivando término a término la serie dada.
  4. Sea la serie entera $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ con radio de convergencia $R$ y de suma $f(x)$ en $(-R,R).$ Demostrar que la serie entera $$a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots$$ tiene el mismo radio de convergencia que la serie dada, y que para todo $x\in (-R,R):$ $$\int_0^xf(x)\;dx=a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots.$$
    Solución
  1. La serie $a_0+a_1\rho +a_2\rho^2+\cdots$ converge absolutamente y para todo $x\in [-\rho,\rho]$ se verifica $\left|a_nx^n\right|\leq \left|a_n\rho^n\right|.$ Basta ahora aplicar el criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de series.
  2. Sea $R$ el redio de convergencia de una serie entera y $R’$ el de su serie derivada.
    $(a)$ Supongamos que $R<R’.$ Sea $x$ un número tal que $R<x<R’.$ Como $x<R’,$ la serie de término general $n\left|a_n\right|x^{n-1}$ es convergente, con lo cual también lo es la de término general $n\left|a_n\right|x^n$ (por el teorema del álgebra de series), y por tanto también lo es la de término general $\left|a_n\right|x^n$ (pues $0\leq \left|a_n\right|x^n\leq n\left|a_n\right|x^n$ para todo $n\geq 1$). Esto es absurdo pues $x>R.$
    $(b)$ Supongamos que $R’<R.$ Sean $x$ y $\rho$ dos números tales que $R’<x<\rho<R.$ Como $\rho <R,$ $\left|a_n\right|\rho^n\to 0$ (condición necesaria para la convergencia de una serie). Existe por tanto una constante positiva $M$ tal que $\left|a_n\right|\rho^n\leq K$ para todo $n.$ Entonces, llamando $\theta=x/\rho$ podemos escribir $$\left|na_nx^{n}\right|=n\left|a_n\rho^n\right|\left(\frac{x}{\rho}\right)^n\leq nM\theta^n,\quad 0<\theta<1.$$ La serie de término general $ nM\theta^n$ es convergente. En efecto, aplicando el criterio de D’Alembert: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)M\theta^{n+1}}{nM\theta^n}=\theta <1.$$ Esto implica que la serie de término general $\left|na_nx^{n}\right|$ es convergente (está mayorada por una convergente) y también es convergente la de término general $\left|na_nx^{n-1}\right|$ (álgebra de series). Obtenemos un absurdo pues $x>R’.$
  3. Sea $x_0\in (-R,R)$ y elijamos $\rho$ tal que $\left|x_0\right|<\rho<R.$ Las series de potencias $$\begin{aligned}&a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n+\cdots,
    \\&a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots,\end{aligned}$$ sabemos que son uniformemente convergentes en $[-\rho,\rho]$ hacia funciones $f$ y $g.$ Por el conocido teorema de derivación de sucesiones funcionales uniformemente convergentes, $f$ es derivable y su derivada en $[-\rho,\rho]$ es $g.$ En particular, $f’(x_0)$ existe y es igual a $g(x_0).$
    Es decir, $f$ es derivable en $(-R,R)$ y su derivada $f’$ se obtiene derivando término a término la serie dada. Aplicando este resultado a $f’,$ después a $f^{\prime\prime},$ … se obtiene el teorema.
  4. La serie $\displaystyle a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots$ tiene como serie derivada la serie dada, por tanto ambas tienen radio de convergencia $R.$ Su suma $h(x)$ es nula para $x=0$ y por tanto $h(x)=\displaystyle \int_0^xf(x)\;dx$ para todo $x\in (-R,R).$
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