Concepto de forma sesquilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma sesquilineal.

TEORÍA

1 Sea $M\in\mathbb{C}^{m\times n}$ y la aplicación  $$f:\mathbb{C}^m\times \mathbb{C}^n\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=x^tM\;\overline{y},$$ en donde $x,y$ representan vectores columna de $\mathbb{C}^m$ y $\mathbb{C}^n$ respectivamente. Demostrar que  $f$ es forma sesquilineal.

SOLUCIÓN

2 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $E=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;f\text{ continua.}\}.$ Demostrar que $$f:E\times E\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt.$$ es una forma sequilineal.

SOLUCIÓN

3 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$f:E\times E\to \mathbb{C},\quad f( x,y)=\sum x_j\overline{y_j}$$ es una forma sesquilineal.

SOLUCIÓN
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