Concepto de forma sesquilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma sesquilineal.

Enunciado
1. Sea $M\in\mathbb{C}^{m\times n}$ y la aplicación $$f:\mathbb{C}^m\times \mathbb{C}^n\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=x^tM\;\overline{y},$$ en donde $x,y$ representan vectores columna de $\mathbb{C}^m$ y $\mathbb{C}^n$ respectivamente. Demostrar que $f$ es forma sesquilineal.
2. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $E=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;f\text{ continua.}\}.$ Demostrar que $$f:E\times E\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt.$$ es una forma sequilineal.
3. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$f:E\times E\to \mathbb{C},\quad f( x,y)=\sum x_j\overline{y_j}$$ es una forma sesquilineal.

Solución
1. Para todo $\alpha\in\mathbb{C},$ para todo $x,y\in \mathbb{C}^m,$ para todo $z\in\mathbb{C}^n$ y usando conocidas propiedades de las matrices y de la conjugación: $$(i)\;f(x+y,z)=(x+y)^tM\;\overline{z}=(x^t+y^t)M\;\overline{z}$$ $$=x^tM\;\overline{z}+y^tM\;\overline{z}=f(x,z)+f(y,z).$$ $$f(\alpha x,z)=(\alpha x)^tM\;\overline{z}=\alpha x^tM\;\overline{z}=\alpha f( x,z).$$ Para todo $\alpha\in\mathbb{C},$ para todo $x\in \mathbb{C}^m,$ para todo $y,z\in\mathbb{C}^n$ y usando conocidas propiedades de las matrices y de la conjugación: $$(ii)\;f(x,y+z)=x^tM\;\overline{y+z}=x^tM\;(\overline{y}+\overline{z})$$ $$=x^tM\;\overline{y}+x^tM\;\overline{z}=f(x,y)+f(x,z).$$ $$f(x,\alpha y)= x^tM\;\overline{\alpha y}=\overline{\alpha} x^tM\;\overline{y}=\overline{\alpha} f( x,y).$$ Concluimos que $f$ es forma sequilineal.
2. La conjugada de una función continua es continua y el producto de continuas también, luego la integral dada existe y es un número complejo, luego la aplicación $f$ está bien definida. Para todo $\alpha\in\mathbb{C},$ para todo $x,y,z\in E$ y usando conocidas propiedades de la integral: $$(i)\;f(x+y,z)=\int_a^b\left(x(t)+y(t)\right)\overline{z(t)}\;dt$$ $$=\int_a^bx(t)\;\overline{z(t)}\;dt+\int_a^by(t)\;\overline{z(t)}\;dt=f(x,z)+f(y,z).$$ $$f(\alpha x,y)=\int_a^b\alpha x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha\int_a^b x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha f( x,y).$$ $$(ii)\;f(x,y+z)=\int_a^b\ x(t)\;\overline{y(t)+z(t)}\;dt$$ $$=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt+\int_a^bx(t)\;\overline{z(t)}\;dt=f(x,y)+f(x,z).$$ $$f(x,\alpha y)=\int_a^b x(t)\;\overline{\alpha y(t)}\;dt=\overline{\alpha}\int_a^b x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\overline{\alpha }f( x,y).$$ Concluimos que $f$ es forma sequilineal.
3. Claramente $f( x,y )\in\mathbb{C}$ pues la suma es finita. Para todo $\alpha \in\mathbb{C}$ y para todo $x,y,z\in E,$ $$(i)\;\;f(x+y,z)=\sum\left(x_j+y_j\right)\overline{z_j}=\sum\left(x_j\overline{z_j}+y_j\overline{z_j}\right)$$ $$=\sum x_j\overline{z_j}+\sum y_j\overline{z_j}=f(x,z)+f(y,z),$$ $$f(\alpha x,y)=\sum(\alpha x_j)\overline{y_j}=\sum \alpha (x_j\overline{y_j})=\alpha\sum x_j\overline{y_j}=\alpha f(x,y).$$ $$(ii)\;\;f(x,y+z)=\sum x_j \overline{y_j+z_j}=\sum x_j \left(\overline{y_j}+\overline{z_j}\right)$$ $$=\sum x_j \overline{y_j}+\sum x_j \overline{z_j}=f(x,y)+f(x,z),$$ $$f( x,\alpha y)=\sum x_j\overline{\alpha y_j}=\sum x_j\overline{\alpha}\;\overline{y_j}=\overline{\alpha}\sum x_j\overline{y_j}=\overline{\alpha} f(x,y).$$ Concluimos que $f$ es forma sequilineal.