Expresión matricial de una forma sesquilineal

Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una forma sesquilineal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $f:E\times F\to\mathbb{C}$ una forma sequilineal y $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\},$ $B_F=\{v_1,\ldots,v_m\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{m\times n}$ dada por $a_{ij}=f(u_i,u_j).$ Demostrar que para todo $x\in E$ y para todo $y\in F$ se verifica $$f(x,y)=X^tA\overline{Y},$$ siendo $X$ el vector de coordenadas de $x$ en $B,$ e $Y$ el de $y$ en $B.$
  2. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ ambos de dimensión finita y $f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma sesquilineal. Sean $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente y $A$ la matriz de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F.$
    Sea $B’_E$ una nueva base de $E$ y $B’_F$ una nueva base de $F.$ Sea $P$ la matriz de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y $Q$ la matriz de cambio de $B_F$ a $B’_F.$
    Demostrar que la matriz de la forma sesquilineal $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es $P^tA\overline{Q}.$
    Solución
  1. Sean $x\in E,$ $y\in E,$ con $X=(x_1,\ldots,x_m)^t,$ $Y=(y_1,\ldots,y_n)^t.$ Entonces, $$f(x,y)=f(\sum_{i=1}^mx_ju_i,\sum_{j=1}^ny_jv_j)=\sum_{i=1}^mx_if( u_i,\sum_{j=1}^ny_jv_j)$$ $$=\sum_{i=1}^mx_i\sum_{j=1}^n\overline{y_j}f(u_j,v_j)=\sum_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n\\}x_j\overline{y_k}f(u_i,v_j)$$ $$=\begin{pmatrix}x_1,x_2,\ldots,x_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} f( u_1,v_1) &f( u_1,v_2) & \ldots &f(u_1,v_n)\\ f( u_2,v_1)& f(u_2,v_2) & \ldots & f( u_2,v_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ f(u_m,v_1) & f(u_m,v_2) &\ldots & f(u_m,v_n)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{y_1}\\ \overline{y_2}\\\vdots\\{\overline{y_n}}\end{pmatrix}.$$ Por tanto, $f(x,y)=X^tA\overline{Y}.$
  2. La expresión de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$ es $$f(x,y)=X^tA\overline{Y},\qquad (1)$$ siendo $X$ las coordenadas de $x$ en $B_E$ e $Y$ las de $y$ en $B_F.$ Las ecuaciones del cambio de base en $E$ y $F$ son respectivamente $$X=PX’,\quad Y=QY’,\qquad (2)$$ siendo $X’$ las coordenadas de $x$ en $B’_E$ e $Y’$ las de $y$ en $B’_F.$ Sustituyendo las igualdades $(2)$ en $(1):$ $$f(x,y)=\left(PX’\right)^tA\overline{QY’}=\left(X’\right)^{t}\left(P^tA\overline{Q}\right)Y’.$$ La matriz de $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es por tanto $P^tA\overline{Q}.$
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