Expresión matricial de una forma sesquilineal

Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una forma sesquilineal.

TEORÍA

1  Sea  $f:E\times F\to\mathbb{C}$ una forma sequilineal y $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\},$  $B_F=\{v_1,\ldots,v_m\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{m\times n}$ dada por $a_{ij}=f(u_i,u_j).$ Demostrar que para todo $x\in E$ y para todo $y\in F$  se verifica $$f(x,y)=X^tA\overline{Y},$$ siendo  $X$ el vector de coordenadas de  $x$ en  $B,$ e  $Y$ el de $y$ en $B.$

SOLUCIÓN

2 Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ ambos de dimensión finita y $f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma sesquilineal. Sean $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente y $A$ la matriz de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F.$

Sea $B’_E$ una nueva base de $E$ y $B’_F$ una nueva base de $F.$ Sea $P$ la matriz de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y $Q$ la matriz de cambio de $B_F$ a $B’_F.$

Demostrar que la matriz de la forma sesquilineal  $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es $P^tA\overline{Q}.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.