Suma de series enteras por derivación o integración

Proporcionamos ejemplos de cálculo de la suma de series enteras usando la derivación o integración término a término.

Enunciado
1. Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras:
   $(a)\;x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$
   $(b)\;x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$
2. Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras:
   $(a)\;1+2x+3x^2+(n+1)x^n+\cdots.$
   $(b)\;x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\cdots.$
3. Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras:
   $(a)\;x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$
   $(b)\; 1-3x^2+5x^4-\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}+\cdots.$
4. Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de la serie entera:
   $1\cdot 2+2\cdot 3\cdot x+3\cdot 4\cdot x^2+\cdots+n(n+1)x^{n-1}+\cdots.$

Solución
1. $(a)$ Llamemos $f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$ Derivando, $$f'(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x},\quad \left|x\right|<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1-x}=-\log (1-x)+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=(-\log 1)+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots=-\log (1-x),\quad \left|x\right|<1.$$ $(b)$ Llamemos $f(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$ Derivando, $$f'(x)=1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}+\cdots$$ $$=\frac{1}{1-(-x)^2}=\frac{1}{1+x^2},\quad \left|x\right|^2<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=\arctan 0+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots=\arctan x,\quad \left|x\right|<1.$$
2. $(a)$ Llamemos $f(x)=1+2x+3x^2+(n+1)x^n+\cdots.$ Integrando, $$\int f(x)\;dx=\left(x+x^2+x^3+\cdots+x^{n+1}+\cdots\right)+C$$ $$=-1+\frac{1}{1-x}+C,\quad \left|x\right|<1.$$ Derivando la igualdad anterior queda $f(x)=1/(1-x)^2.$ Queda: $$1+2x+3x^2+(n+1)x^n+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2},\quad \left|x\right|<1.$$ $(b)$ Llamemos $f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$ Derivando, $$f'(x)=1-x+x^2+\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}+\cdots$$ $$=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x},\quad \left|x\right|<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1+x}=\log (1+x)+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=(\log 1)+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\cdots=\log (1+x),\quad \left|x\right|<1.$$
3. $(a)$ Llamemos $f(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$ Derivando, $$f'(x)=1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n-2}+\cdots$$ $$=\frac{1}{1-x^2},\quad \left|x\right|^2<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=(1/2)(\log 1)+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x},\quad \left|x\right|<1.$$ $(b)$ Llamemos $f(x)=1-3x^2+5x^4-\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}+\cdots.$ Integrando, $$\int f(x)\;dx=\left(x-x^3+x^5-\cdots + (-1)^{n-1}x^{2n-1}+\cdots\right)+C$$ $$=\frac{1}{1-(-x^2)}+C=\frac{1}{1+x^2}+C,\quad \left|x\right|^2<1.$$ Derivando la igualdad anterior queda $f(x)=-2x/(1+x^2)^2.$ Queda: $$1-3x^2+5x^4-\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}+\cdots=\frac{-2x}{(1+x^2)^2},\;\; \left|x\right|<1.$$
4. Llamemos $f(x)=1\cdot 2+2\cdot 3\cdot x+3\cdot 4\cdot x^2+\cdots+n(n+1)x^{n-1}+\cdots.$ Integrando, $$g(x)=\int f(x)\;dx=\left(2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^{n}+\cdots\right)+C.$$ Integrando de nuevo, $$h(x)=\int g(x)\;dx=\left(x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n+1}+\cdots\right)+Cx+C_1.$$ $$=-1-x+\frac{1}{1-x}+Cx+C_1,\quad \left|x\right|<1.$$ Derivando dos veces la igualdad anterior, $$g(x)=h'(x)=-1+\frac{1}{(1-x)^2}+C,\quad \left|x\right|<1,$$ $$f(x)=g'(x)=\frac{2}{(1-x)^3},\quad \left|x\right|<1.$$ Queda: $$1\cdot 2+2\cdot 3\cdot x+3\cdot 4\cdot x^2+\cdots+n(n+1)x^{n-1}+\cdots=\frac{2}{(1-x)^3},\quad \left|x\right|<1.$$