Serie de Maclaurin

TEORÍA

1  Sea  $I$ un intervalo abierto centrado en  $0$ y  $f$ una función definida en  $I.$ Si  $f$ es igual en  $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f’(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$

SOLUCIÓN

2 Sea  $I$ intervalo abierto centrado en el origen y  $f:I\to \mathbb{R}$ una función con infinitas derivadas en $I.$ Demostrar que si  $f$ es par, su serie de Maclaurin no hace intervenir más que términos pares, y que si es impar, no hace intervenir más que términos impares.

SOLUCIÓN
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