Serie de Maclaurin

TEORÍA
    Enunciado
  1. Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f’(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$
  2. Sea $I$ intervalo abierto centrado en el origen y $f:I\to \mathbb{R}$ una función con infinitas derivadas en $I.$ Demostrar que si $f$ es par, su serie de Maclaurin no hace intervenir más que términos pares, y que si es impar, no hace intervenir más que términos impares.
    Solución
  1. Supongamos que $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ en $I.$ Por el conocido teorema de derivación de una serie entera, $f^{(n)}(x)$ existe para todo $x\in I$ y es la suma de una serie entera $S$ que se obtiene derivando término a término $n$ veces la serie $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots.$ En particular, $f^{(n)}(0)$ es el término constante de $S,$ que se obtiene derivando $n$ veces $a_nx^n.$ Es decir, $$f^{(n)}(0)=n(n-1)(n-2)\ldots 1\cdot a_n=n!a_n,$$ y por tanto $a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.$
  2. Si $f$ es par, entonces $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in I.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f’(-x)(-1)=f’(x).$ Es decir, $f’(-x)=-f’(x)$ para todo $x\in I$ lo cual implica que $f’$ es impar.
    Si $f$ es impar, entonces $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in I.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f’(-x)(-1)=-f’(x).$ Es decir, $f’(-x)=f’(x)$ para todo $x\in I$ lo cual implica que $f’$ es par.
    Lo anterior inplica que si $f$ es par, son impares las funciones derivadas $f^{(2n+1)}$ con lo cual $f^{(2n+1)}(0)=0$ y la serie de Maclaurin de $f$ no hace intervenir más que términos pares.
    Si $f$ es impar, son impares las funciones derivadas $f^{(2n)}$ con lo cual $f^{(2n)}(0)=0$ y la serie de Maclaurin de $f$ no hace intervenir más que términos impares.
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