Concepto de forma hermítica o hermitiana

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de forma hermítica (o hermitiana) y el de forma cuadrática asociada.

TEORÍA

1 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Demostrar que $$f:E\times E\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt.$$ es una forma hermítica.

SOLUCIÓN

2 Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$f:E\times E\to \mathbb{C},\quad f( x,y)=\sum x_j\overline{y_j}$$ es una forma hermítica.

SOLUCIÓN

3  Sea $E$ espacio vectorial complejo de dimensión finita y $B$ una base de $E.$ Demostrar que una forma sesquilineal en $E$ es hermítica si y sólo si la matriz de  $f$ en $B$ es hermítica.

SOLUCIÓN

4 Sea  $f:E\times E\to \mathbb{C}$ una forma hermítica y  $q:E\to\mathbb{R}$ su forma cuadrática asociada. Demostrar que para todo $x,y\in E$ se verifica $$f(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}+i\frac{q(x+iy)-q(x-iy)}{4}.$$

SOLUCIÓN
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