Concepto de forma hermítica o hermitiana

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de forma hermítica (o hermitiana) y el de forma cuadrática asociada.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Demostrar que $$f:E\times E\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt.$$ es una forma hermítica.
  2. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $$f:E\times E\to \mathbb{C},\quad f( x,y)=\sum x_j\overline{y_j}$$ es una forma hermítica.
  3. Sea $E$ espacio vectorial complejo de dimensión finita y $B$ una base de $E.$ Demostrar que una forma sesquilineal en $E$ es hermítica si y sólo si la matriz de $f$ en $B$ es hermítica.
  4. Sea $f:E\times E\to \mathbb{C}$ una forma hermítica y $q:E\to\mathbb{R}$ su forma cuadrática asociada. Demostrar que para todo $x,y\in E$ se verifica $$f(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}+i\frac{q(x+iy)-q(x-iy)}{4}.$$
    Solución
  1. Ya habíamos demostrado que $f$ es sesquilineal. Además $$f(y,x)=\int_a^b y(t)\;\overline{x(t)}\;dt=\int_a^b \overline{x(t)\;\overline{y(t)}}\;dt=\overline{\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt}=\overline{f(x,y)}.$$ Es decir, $f$ es forma hermítica.
  2. Ya habíamos demostrado que $f$ es sesquilineal. Además para todo $x,y\in E,$ $$f(y,x)=\sum y_j\overline{x_j}=\sum \overline{x_j\overline{y_j}}=\overline{\sum x_j\overline{y_j}}=\overline{f (x,y)}.$$ Es decir, $f$ es forma hermítica.
  3. Sea $B=\{u_1,\ldots,u_n\}.$ La matriz de $f$ en $B$ es $A=[a_{ij}]$ con $a_{ij}=f(u_i,u_j).$ Si $f$ es hermítica, $a_{ji}=f(u_j,u_i)=\overline{f(u_i,u_j)}=\overline{a_{ij}}$ es decir, $A$ es hermítica.
    Recíprocamente, si $A$ es hermítica se verifica para todo $x,y\in E:$ $$f(y,x)=Y^tA\overline{X}=\left(Y^tA\overline{X}\right)^t=\left(\overline{X}\right)^tA^t\left(Y^t\right)^t$$ $$=\overline{X^t}A^tY=\overline{X^tA^*\overline{Y}}=\overline{X^tA\overline{Y}}=\overline{f(x,y)}$$ es decir, $f$ es forma hermítica.
  4. Usando la definición de forma hermítica y de forma cuadrática asociada, tenemos $$\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}=\frac{f(x+y,x+y)-f(x-y,x-y)}{4}$$ $$=\frac{q(x)+f(x,y)+f(y,x)+q(y)-q(x)+f(x,y)+f(y,x)-q(y)}{4}$$ $$=\frac{2f(x,y)+2f(y,x)}{4}=\frac{f(x,y)+f(y,x)}{2}.\quad (1)$$ Por otra parte $$i\frac{q(x+iy)-q(x-iy)}{4}=i\frac{f(x+iy,x+iy)-f(x-iy,x-iy)}{4}$$ $$=i\frac{q(x)+if(y,x)-if(x,y)+q(y)-q(x)+if(y,x)-if(x,y)-q(y)}{4}$$ $$=i\frac{2if(y,x)-2if(x,y)}{4}=\frac{-f(y,x)+f(x,y)}{2}\quad (2)$$ Sumando las igualdades $(1)$ y $(2),$ $$f(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}+i\frac{q(x+iy)-q(x-iy)}{4}.$$
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