Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales

En los siguientes ejercicios/ejemplos, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales.

1  1.  Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ 2.  Demostrar que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^n}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$

2 Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right),$$ $$\operatorname{sh}x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$

3 Demostrar que $$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ $$\operatorname{sen}x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$

4 Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}$$

5 Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}.$$

6 Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\log (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\cdots+\dfrac{x^n}{n}-\cdots=-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{k}.$$

7 Sea $p\in\mathbb{R}.$ Demostar que si $\left|x\right|<1$ se verifica $$(1+x)^p=\binom{p}{0}+\binom{p}{1}x+\binom{p}{2}x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{p}{k}x^k.$$ Nota. Si además $p$ es entero $\geq 0,$  $$(1+x)^p=\binom{p}{0}+\binom{p}{1}x+\binom{p}{2}x^2+\cdots+\binom{p}{p}x^p$$ para todo $x\in\mathbb{R},$ como consecuencia del desarrollo del binomio de Newton

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