Distancia inducida por la norma

Estudiamos propiedades de la distancia inducida por la norma.

    Enunciado
  1. Sea $x\to \left\|x\right\|$ una norma en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$d:E\times E\to \mathbb{R}^+,\quad d(x,y)=\left\|x-y\right\|$$ es una distancia en $E.$
    Nota. Como consecuencia, todo espacio normado puede ser considerado como un espacio métrico con la distancia anterior.
  2. Sea $E$ espacio normado. Demostrar que la aplicación $E\times E\to E,$ dada por $(x,y)\to x+y$ es uniformemente continua.
  3. Sea $E$ espacio normado. Demostrar que la función $\mathbb{K}\times E\to E$ dada por $(\lambda, x)\to \lambda x$ es continua.
  4. Sea $E$ espacio normado. Demostrar que para todo $a\in\mathbb{K},$ la función $E\to E$ dada por $x\to a x$ es uniformemente continua.
  5. Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que las traslaciones y homotecias en $E$ son homeomorfismos.
  6. Demostrar que no toda distancia en un espacio vectorial está inducida por una norma.
  7. Sea $E$ un espacio normado y $x_n,$ $y_n$ dos sucesiones en $E$ convergentes tales $x_n\to x,$ $y_n\to y.$
    $(a)$ Demostrar que $x_n+y_n\to x+y.$
    $(b)$ Demostrar que para todo $\lambda\in\mathbb{K},$ $\lambda x_n\to \lambda x.$
  8. Sea $\left(E,\left\|\,\right\|\right)$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E.$ Demostrar que la adherencia de $F$ también es subespacio de $E.$
  9. Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que
    $a)\;$ $ \left | \left\|x\right\|- \left\|y\right\|\right |\leq \left\|x-y\right\| $ para todo $x,y\in E.$
    $b)\;$ La aplicación $E\to [0,+\infty)$ dada por $x\to \left\|x\right\|,$ es continua.
  10. Sean $x,y$ dos vectores no nulos de un espacio vectorial normado. Demostrar que $$\left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|\le 2\frac{\|x-y\|}{\|x\|}.$$
    Solución
  1. $1)$ $d(x,y)=0\Leftrightarrow \left\|x-y\right\|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y.$
    $2)$ Para todo $x,y\in E,$ $$d(x,y)=\left\|x-y\right\|=\left\|-(y-x)\right\|=\left|-1\right|\left\|y-x\right\|=d(y,x).$$ $3)$ Para todo $x,y,z\in E:$ $$d(x,y)=\left\|x-y\right\|=\left\|(x-z)+(z-y)\right\|$$ $$\leq \left\|x-z\right\|+\left\|z-y\right\|=d(x,z)+d(z,y).$$
  2. Sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta=\epsilon/2.$ Entonces, $$\left \{ \begin{matrix} \left\|x-x’\right\|<\delta \\\left\|y-y’\right\|<\delta\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\|(x+y)-(x’+y’)\right\|$$ $$\leq \left\|x-x’\right\|+\left\|y-y’\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$
  3. Sean $\lambda_0\in \mathbb{K}$ y $x_0\in E$ fijos. Basta demostrar que la función dada es continua en $(\lambda_0,x_0).$ Tenemos $$\lambda x-\lambda_0x_0=\lambda_0(x-x_0)+(\lambda-\lambda_0)x_0+(\lambda -\lambda_0)(x-x_0).$$ Tomando normas, $$ \left\|\lambda x-\lambda_0x_0\right\|\leq \left|\lambda_0\right|\left\|x-x_0\right\|+ \left|\lambda-\lambda_0\right|\left\|x_0\right\|+ \left|\lambda-\lambda_0\right|\left\|x-x_0\right\|.$$ Sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta>0$ cumpliendo $$\delta<1\text{ y } \delta <\frac{\epsilon}{\left|\lambda_0\right|+\left\|x_0\right\|+1.}$$ Entonces, $$\left \{ \begin{matrix} \left|\lambda-\lambda_0\right|<\delta \\\left\|x-x_0\right\|<\delta \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\|\lambda x-\lambda_0x_0\right\|<\left|\lambda_0\right|\delta+\delta \left\|x_0\right\|+\delta^2$$ $$=\delta\left(\left|\lambda_0\right|+\left\|x_0\right\|+\delta\right) \underbrace{<}_{\delta <1}\delta\left(\left|\lambda_0\right|+\left\|x_0\right\|+1\right)<\epsilon.$$
  4. Si $a=0,$ el resultado es trivial. Si $a\neq 0,$ sea $\epsilon >0.$ Entonces, eligiendo $\delta=\epsilon/\left|a\right|:$ $$\left\|x-x’\right\|<\delta \Rightarrow \left\|ax-ax’\right\|=\left|a\right|\left\|x-x’\right\|<\left|a\right|\frac{\epsilon}{\left|a\right|}=\epsilon.$$
  5. Toda traslación $T_v:E\to E,$ $T_v(x)=x+v$ es aplicación continua y además tiene como aplicación inversa $T_v^{-1}=T_{-v}$ que también es un traslación, y por tanto continua. Es decir, $T_v$ es homeomorfismo.
    Toda homotecia $H_k:E\to E,$ $H_k(x)=kx$ con $k\neq 0$ es aplicación continua y además tiene como aplicación inversa $H_k^{-1}=T_{1/k}$ que también es una homotecia, y por tanto continua. Es decir, $H_k$ es homeomorfismo.
  6. Sea $E\neq \{0\}$ un espacio vectorial real o complejo y $d$ la distancia discreta en $E,$ es decir $$d(x,y)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si } x=y& \\1 & \mbox{ si }x\neq y.\end{matrix}\right.$$ Supongamos que $d(x,y)=\left\|x-y\right\|$ para alguna norma en $E,$ y elijamos $v\in E$ no nulo (y por tanto, $2v\neq 0$). Entonces, $$1=d(2v,0)=\left\|2v\right\|=2\left\|v\right\|=2d(v.0)\Rightarrow d(v,0)=1/2,$$ lo cual es absurdo.
  7. $(a)$ En efecto, supongamos que $x_n\to x$ e $y_n\to y.$ Si $\epsilon >0,$ existe $n_0$ natural tal que $\left\|x_n-x\right\|<\epsilon /2$ si $n\geq n_0,$ y existe $n_1$ natural tal que $\left\|y_n-y\right\|<\epsilon /2$ si $n\geq n_1.$ Entonces, para todo $n\geq \max \{n_0,n_1\}$ se verifica: $$\left\|(x_n+y_n)-(x+y)\right\|\leq \left\|x_n-x\right\|+\left\|y_n-y\right\|<\frac{\epsilon}{ 2}+\frac{\epsilon}{ 2}=\epsilon.$$ Es decir, $x_n+y_n\to x+y.$
    $(b)$ Si $\lambda=0,$ el resultado es trivial. Sea $\lambda \neq 0$ y $\epsilon >0.$ Como $x_n\to x,$ existe $n_0$ natural tal que $\left\|x_n-x\right\|<\epsilon /\left|\lambda\right|$ si $n\geq n_0,$ Entonces, $$\left\|\lambda x_n-\lambda x\right\|=\left\|\lambda (x_n- x)\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x_n-x\right\|<\left|\lambda\right|\frac{\epsilon}{\left|\lambda\right|}=\epsilon$$ si $n\geq n_0,$ es decir $\lambda x_n\to \lambda x.$
  8. $1)\;$ $F$ es subespacio de $E,$ por tanto $0\in F\subset \overline{F},$ luego $0\in \overline{F}.$
    $2)\;$ Si $x,y\in \overline{F},$ existen sucesiones $x_n,$ $y_n$ en $E$ tales que $x_n\to x$ e $y_n\to y.$ Entonces, $x_n+y_n\to x+y,$ lo cual implica que $x+y\in \overline{F}.$
    $3)\;$ Sea $\lambda$ un escalar y $x\in \overline{F}.$ Existe sucesión $x_n,$ en $E$ tal que $x_n\to x.$ Entonces $\lambda x_n\to \lambda x$ y por tanto $\lambda x\in \overline{F}.$
  9. $a)\;$ Tenemos $$\left\|y\right\|=\left\|x+(y-x)\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|x-y\right\|$$ $$\Rightarrow -\left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|-\left\|y\right\|,\quad (1)$$ $$\left\|x\right\|=\left\|y+(x-y)\right\|\leq \left\|y\right\|+\left\|x-y\right\|$$ $$\Rightarrow \left\|x\right\|-\left\|y\right\|\leq \left\|x-y\right\|.\quad (2)$$ De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $ \left | \left\|x\right\|- \left\|y\right\|\right |\leq \left\|x-y\right\| .$
    $b)\;$ Sea $x_0\in E$ y $\epsilon>0.$ Eligiendo $\delta=\epsilon,$ $$\left\|x-x_0\right\|<\delta\Rightarrow \left | \left\|x\right\|- \left\|x_0\right\|\right |<\delta=\epsilon,$$ lo cual implica que $x\to \left\|x\right\|$ es continua para todo $x_0\in E.$
  10. Tenemos $$ 2\|x-y\|\ge \|x-y\|+\big|\|x\|-\|y\|\big|
    =\|x-y\|+\left\|y-\frac{\|x\|}{\|y\|}y\right\|$$ $$
    \ge \left\|x-\frac{\|x\|}{\|y\|}y\right\| =\|x\|\,\left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|\Rightarrow \left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|\le 2\frac{\|x-y\|}{\|x\|}.$$
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