Distancia inducida por la norma

Estudiamos propiedades de la distancia inducida por la norma.

1  Sea $x\to \left\|x\right\|$ una norma en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$d:E\times E\to \mathbb{R}^+,\quad d(x,y)=\left\|x-y\right\|$$ es una distancia en $E.$

Nota. Como consecuencia, todo espacio normado puede ser considerado como un espacio métrico con la distancia anterior.

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio normado. Demostrar que la aplicación $E\times E\to E,$ dada por $(x,y)\to x+y$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

3  Sea $E$ espacio normado. Demostrar que la función $\mathbb{K}\times E\to E$ dada por $(\lambda, x)\to \lambda x$ es continua.

SOLUCIÓN

4  Sea $E$ espacio normado. Demostrar que para todo $a\in\mathbb{K},$ la función $E\to E$ dada por $x\to a x$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

5  Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que las traslaciones y homotecias en $E$ son homeomorfismos.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que no toda distancia en un espacio vectorial está inducida por una norma.

SOLUCIÓN

7  Sea $E$ un espacio normado y $x_n,$ $y_n$ dos sucesiones en $E$ convergentes tales $x_n\to x,$ $y_n\to y.$

$(a)$ Demostrar que $x_n+y_n\to x+y.$
$(b)$ Demostrar que para todo $\lambda\in\mathbb{K},$ $\lambda x_n\to \lambda x.$

SOLUCIÓN

8  Sea  $\left(E,\left\|\,\right\|\right)$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E.$ Demostrar que la adherencia de $F$ también es subespacio de $E.$

SOLUCIÓN

9  Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que

$a)\;$ $ \left | \left\|x\right\|- \left\|y\right\|\right |\leq  \left\|x-y\right\| $ para todo $x,y\in E.$
$b)\;$ La aplicación $E\to [0,+\infty)$ dada por  $x\to \left\|x\right\|,$ es continua.

SOLUCIÓN

10  Sean $x,y$ dos vectores no nulos de un espacio vectorial normado. Demostrar que $$\left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|\le 2\frac{\|x-y\|}{\|x\|}.$$

SOLUCIÓN
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