Norma, espacio normado

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de norma y espacio normado.

Enunciado
1. Sea $E=C\left([a,b]\right)$ el espacio vectorial de las funciones continuas sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) $f:[a,b]\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx$ es una norma en $E.$
2. Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y $E=C\left(I\right)$ el espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de las funciones continuas $f:I\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}$ es una norma en $E.$
3. Demostrar que las únicas normas en $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ son el módulo o sus múltiplos positivos.
4. Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{\infty}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}.$$
5. Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 0 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{1}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{1}=\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|.$$
6. Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 0 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{2}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{2}=\sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}.$$
7. En el espacio vectorial $E=\mathbb{K}^{m\times n}$ de las matrices de ordenes $m\times n$ reales o complejas se define para toda $A=\left[a_{ij}\right]\in E:$ $$\left\|A\right\|=\max\left\{\left|a_{ij}\right|\right\}\quad (1\le i\le m,1\le j\le n).$$ Demostrar que $\left\|\;\right\|$ es una norma en $E.$
8. En el espacio vectorial $C^1[a,b]$ de las funciones reales definidas en $[a,b]$ con derivada continua, demostrar que $$ \|f\|=\max |f(t)|+\max |f^{\prime}(t)|$$ es una norma en $C^1[a,b].$

Solución. Ver página 2.
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