Norma, espacio normado

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de norma y espacio normado.

1  Sea  $E=C\left([a,b]\right)$ el espacio vectorial de las funciones continuas sobre  $\mathbb{K}$  ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o  $\mathbb{K}=\mathbb{C}$)  $f:[a,b]\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx$ es una norma en $E.$

SOLUCIÓN
2  Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y $E=C\left(I\right)$ el espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de las funciones continuas  $f:I\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}$ es una norma en $E.$

SOLUCIÓN
3  Demostrar que las únicas normas en $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ son el módulo o sus múltiplos positivos.

SOLUCIÓN
4  Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{\infty}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}.$$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 0 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{1}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{1}=\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|.$$

SOLUCIÓN

6  Demostrar que la siguiente aplicación es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 0 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|\;\right\|_{2}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{R},\quad \left\|(x_1,\ldots,x_n)\right\|_{2}=\sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}.$$

SOLUCIÓN

7  En el espacio vectorial  $E=\mathbb{K}^{m\times n}$ de las matrices de ordenes $m\times n$ reales o complejas se define para toda $A=\left[a_{ij}\right]\in E:$ $$\left\|A\right\|=\max\left\{\left|a_{ij}\right|\right\}\quad (1\le i\le m,1\le j\le n).$$ Demostrar que $\left\|\;\right\|$ es una norma en $E.$

SOLUCIÓN
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