- Como el valor absoluto de una función continua es continua y no negativa, existe $\left\|f\right\|$ para todo $f\in E$ y es $\geq 0.$ Usando conocidas propiedades de la integral,
$1)$ $\left\|f\right\|=0\Leftrightarrow \displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx=0 \Leftrightarrow \left|f(x)\right|=0\;\forall x\in [a,b]\Leftrightarrow f=0.$
$2)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $f\in E,$ $$\left\|\lambda f\right\|=\displaystyle\int_a^b\left|(\lambda f)(x)\right|dx=\displaystyle\int_a^b\left|\lambda f(x)\right|dx=\left|\lambda\right|\displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx=\left|\lambda\right|\left\|f\right\|.$$ $3)$ Para todo $f,g\in E,$ $$\left\|f+g\right\|=\int_a^b\left|(f+g)(x)\right|dx=\int_a^b\left|f(x)+g(x)\right|dx$$ $$\leq \int_a^b\left(\left|f(x)\right|+\left|g(x)\right|\right)dx=\int_a^b\left|f(x)\right|dx+\int_a^b\left|g(x)\right|dx=\left\|f\right\|+\left\|g\right\|.$$ - Se verifica $\left\|f\right\|\geq 0$ para todo $f\in E.$ Por otra parte,
$1)$ $\left\|f\right\|=0\Leftrightarrow \sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}=0\Leftrightarrow \left|f(x)\right|=0\;\forall x\in I\\\Leftrightarrow f(x)=0\;\forall x\in I\Leftrightarrow f=0.$
$2)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $f\in E,$ $$\left\|\lambda f\right\|=\sup \{\left|(\lambda f)(x)\right|:x\in I\}=\sup \{\left|\lambda f(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup \{\left|\lambda \right| \left|f(x)\right|:x\in I\}=\left|\lambda \right|\sup \{ \left|f(x)\right|:x\in I\}=\left|\lambda \right|\left\|f\right\|.$$ $3)$ Para todo $f,g\in E,$ $$\left\|f+g\right\|=\sup \{\left|(f+g)(x)\right|:x\in I\}=\sup \{\left| f(x)+g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\leq\sup \{\left|f(x)\right|+\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\leq \sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}+\sup \{\left|g(x)\right|:x\in I\}=\left\|f\right\|+\left\|g\right\|.$$ - La aplicación $\mathbb{K}\to \mathbb{R}^+$ dada por $x\to \left\|x\right\|=k\left|x\right|$ con $k>0$ es una norma. En efecto,
$1)$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow k\left|x\right|=0\Leftrightarrow \left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0.$
$2)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K},x\in\mathbb{K}$ se verifica $\left\|\lambda x\right\|=k \left|\lambda x\right|=\left|\lambda\right|\left(k\left|x\right|\right)=\left|\lambda\right| \left\|x\right\|.$
$3)$ Para todo $x,y \in\mathbb{K}$ se verifica $$\left\|x+y\right\|=k\left|x+y\right|\leq k\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)=k\left|x\right|+k\left|y\right|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|.$$ Sea ahora una norma $\left\|\;\right\|$ en $\mathbb{K}.$ Entonces $k=\left\|1\right\|$ es mayor que $0,$ y para todo $x\in\mathbb{K},$ $$\left\|x\right\|=\left\|x\cdot 1\right\|=\left|x\right|\left\|1\right\|=k\left\|x\right\|.$$ - Usaremos conocidas propiedades del máximo.$1)$ Sea $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n.$ Entonces, $$\left\|x\right\|_{\infty}=0\Leftrightarrow \max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}=0\Leftrightarrow \left|x_1\right|=0,\ldots,\left|x_n\right|=0$$ $$\Leftrightarrow x_1=0,\ldots,x_n=0\Leftrightarrow x=0.$$ $2)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ $$\left\|\lambda x\right\|_{\infty}=\left\|(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|\lambda x_1\right|,\ldots,\left|\lambda x_n\right|\right\}$$ $$=\max \left\{\left| \lambda\right|\left| x_1\right|,\ldots,\left| \lambda\right|\left| x_n\right|\right\}=\left| \lambda\right|\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}=\left| \lambda\right|\left\|x\right\|_{\infty}.$$ $3)$ Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n$ $$\left\|x+y\right\|_{\infty}=\left\|(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1+y_1\right|,\ldots,\left|x_n+y_n\right|\right\}$$ $$\leq \max \left\{\left|x_1\right|+\left|y_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|+\left|y_n\right|\right\}$$ $$\leq \max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}+\max \left\{\left|y_1\right|,\ldots,\left|y_n\right|\right\}=\left\|x\right\|_{\infty}+\left\|y\right\|_{\infty}.$$
- $1)$ Sea $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n.$ Entonces, $$\left\|x\right\|_{1}=0\Leftrightarrow \left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|=0\Leftrightarrow \left|x_1\right|=0,\ldots,\left|x_n\right|=0$$ $$\Leftrightarrow x_1=0,\ldots,x_n=0\Leftrightarrow x=0.$$ $2)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ $$\left\|\lambda x\right\|_{1}=\left\|(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)\right\|_{1}=\left|\lambda x_1\right|+\cdots+\left|\lambda x_n\right|$$ $$=\left| \lambda\right|\left| x_1\right|+\cdots+\left| \lambda\right|\left| x_n\right|=\left| \lambda\right|\left(\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|\right)=\left| \lambda\right|\left\|x\right\|_{1}.$$ $3)$ Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n$ $$\left\|x+y\right\|_{1}=\left\|(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\right\|_{1}=\left|x_1+y_1\right|+\cdots+\left|x_n+y_n\right|$$ $$\leq \left(\left|x_1\right|+\left|y_1\right|\right)+\cdots+\left(\left|x_n\right|+\left|y_n\right|\right)$$ $$=\left(\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|\right)+\left(\left|y_1\right|+\cdots+\left|y_n\right|\right)=\left\|x\right\|_{1}+\left\|y\right\|_{1}.$$
- $1)$ Sea $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n.$ Entonces, $$\left\|x\right\|_{2}=0\Leftrightarrow \sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}=0\Leftrightarrow \left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2=0$$ $$\Leftrightarrow \left|x_1\right|=0,\ldots,\left|x_n\right|=0\Leftrightarrow x_1=0,\ldots,x_n=0\Leftrightarrow x=0.$$ $2)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ $$\left\|\lambda x\right\|_{2}=\left\|(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)\right\|_{2}=\sqrt{\left|\lambda x_1\right|^2+\cdots+\left|\lambda x_n\right|^2}$$ $$=\sqrt{\left| \lambda\right|^2\left| x_1\right|^2+\cdots+\left| \lambda\right|^2\left| x_n\right|^2}=\left| \lambda\right|\sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}=\left| \lambda\right|\left\|x\right\|_{2}.$$ $3)$ Usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es decir si $a_1,\ldots a_n$ y $b_1,\ldots b_n$ son números reales se verifica $$\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2\leq \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right).\quad (1)$$ Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n,$ $$\left\|x+y\right\|_{2}^2=\left\|(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\right\|_{2}^2=\sum_{k=1}^n\left|x_k+y_k\right|^2$$ $$\leq \sum_{k=1}^n\left(\left|x_k\right|+\left|y_k\right|\right)^2=\sum_{k=1}^n\left(\left|x_k\right|^2+2\left|x_k\right|\left|y_k\right|+\left|y_k\right|^2\right)$$ $$=\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^2+2\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|\left|y_k\right|+\sum_{k=1}^n\left|y_k\right|^2$$ $$ \underbrace{\leq}_{\text{por }(1)}\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^2+2\left(\sum_{k=1}^n \left|x_k\right|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n \left|y_k\right|^2\right)^{1/2}+ \sum_{k=1}^n\left|y_k\right|^2$$ $$=\left\|x\right\|_{2}^2+2\left\|x\right\|_{2}\left\|y\right\|_{2}+\left\|y\right\|_{2}^2=\left(\left\|x\right\|_{2}+\left\|y\right\|_{2}\right)^2$$ $$\Rightarrow \left\|x+y\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{2}+\left\|y\right\|_{2}.$$
- Usaremos conocidas propiedades del máximo.
$1)$ Sea $A\in E$ Entonces, $$\left\|A\right\|=0\Leftrightarrow \max\left\{\left|a_{ij}\right|\right\}=0\Leftrightarrow \left|a_{ij}\right|=0\;\forall i,j\Leftrightarrow a_{ij}=0\;\forall i,j\Leftrightarrow A=0.$$ $2)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $A \in E,$ $$\left\|\lambda A\right\|=\max\left\{\left|\lambda a_{ij}\right|\right\}=\max\left\{\left|\lambda\right|\left| a_{ij}\right|\right\}=\left|\lambda\right|\max\left\{\left|a_{ij}\right|\right\}=\left|\lambda\right|\left\|A\right\|.$$ $3)$ Para todo $A,B\in E$ $$\left\|A+B\right\|=\max\left\{\left| a_{ij}+b_{ij}\right|\right\}\leq \max\left\{\left| a_{ij}\right|\right\}+\max\left\{\left| b_{ij}\right|\right\}\le \left\|A+\right\|+\left\|B\right\|.$$ - Ver Norma en el espacio de las funciones de clase 1
Solución
Recordamos que si $E$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C},$ se llama norma en $E$ a toda aplicación $\left\|\;\right\|:E\to\mathbb{R}^+,$ $x\to \left\|x\right\|$ de $E$ en los reales no negativos que satisface los axiomas:
$1)$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow x=0.$
$2)$ $\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\quad\forall\lambda\in\mathbb{K},\;\forall x\in E. $
$3)$ $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|\quad\forall x,y\in E$ (desigualdad triangular o de Minkowski).
Al par $\left(E,\left\|\;\right\|\right)$ se le llama espacio normado, si bien se escribe sencillamente $E.$ $\quad \square$
Recordamos que si $E$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C},$ se llama norma en $E$ a toda aplicación $\left\|\;\right\|:E\to\mathbb{R}^+,$ $x\to \left\|x\right\|$ de $E$ en los reales no negativos que satisface los axiomas:
$1)$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow x=0.$
$2)$ $\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\quad\forall\lambda\in\mathbb{K},\;\forall x\in E. $
$3)$ $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|\quad\forall x,y\in E$ (desigualdad triangular o de Minkowski).
Al par $\left(E,\left\|\;\right\|\right)$ se le llama espacio normado, si bien se escribe sencillamente $E.$ $\quad \square$
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