Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo

En este problema se demuestra que el espacio vectorial $\mathcal{C}(I)$ de las funciones continuas (reales o complejas) definidas en $I=[a,b]$ es un espacio de Banach con la norma del supremo.

Enunciado
Sea  $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y  $E=C\left(I\right)$ el espacio vectorial  sobre  $\mathbb{K}$  ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o  $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de las funciones continuas  $f:I\to\mathbb{K}.$

$a)\;$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}$ es una norma en $E.$
$b)\;$ Demostrar que $\left(E,\left\|\;\right\|\right)$ es espacio de Banach.

Solución
$a)\;$ Las funciones continuas en $I$ están acotadas, por tanto se verifica  $\left\|f\right\|\geq 0$ y finito para todo $f\in E.$ Por otra parte,

$1.\;$ $\left\|f\right\|=0\Leftrightarrow \sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}=0\Leftrightarrow \left|f(x)\right|=0\;\forall x\in I\\\Leftrightarrow f(x)=0\;\forall x\in I\Leftrightarrow f=0.$

$2.\:$ Para todo  $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $f\in E,$ $$\left\|\lambda f\right\|=\sup \{\left|(\lambda f)(x)\right|:x\in I\}=\sup \{\left|\lambda f(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup \{\left|\lambda \right| \left|f(x)\right|:x\in I\}=\left|\lambda \right|\sup \{ \left|f(x)\right|:x\in I\}=\left|\lambda \right|\left\|f\right\|.$$ $3.\;$ Para todo $f,g\in E,$ $$\left\|f+g\right\|=\sup \{\left|(f+g)(x)\right|:x\in I\}=\sup \{\left| f(x)+g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\leq\sup \{\left|f(x)\right|+\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\leq \sup \{\left|f(x)\right|:x\in I\}+\sup \{\left|g(x)\right|:x\in I\}=\left\|f\right\|+\left\|g\right\|.$$ $b)\;$ Sea  $f_n$ una sucesión de Cauchy en $E.$ Entonces, para todo  $\epsilon >0$ existe un natural  $n_0$ tal que para todo  $n,m\geq n_0$ naturales se verifica  $\left\|f_n-f_m\right\|<\epsilon,$ y como consecuencia para todo  $x\in I:$ $$\left|f_n(x)-f_m(x)\right|\leq \left\|f_n-f_m\right\|<\epsilon,$$ luego para todo $x\in I$ la sucesión  $f_n(x)$ es sucesión de Cauchy y por tanto convergente ($\mathbb{R}$ y  $\mathbb{C}$ son completos). Llamando  $f(x)$ al límite de esta sucesión, queda definida una función  $f:I\to \mathbb{K}.$

Veamos que esta función es continua, es decir, que pertenece a  $E.$ En efecto, para todo  $\epsilon >0$ existe un número natural  $N$ tal que  $\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon/2$ y $\left|f_m(x)-f(x)\right|<\epsilon/2$ para todo  $n,m\geq N.$ Como consecuencia, $$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|f_n(x)-f_m(x)+f_m(x)-f(x)\right|$$ $$\leq \left|f_n(x)-f_m(x)\right|+\left|f_m(x)-f(x)\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\;\;\forall x\in I,\forall n\geq N.$$ Es decir,  $f_n\to f$ unifórmemente, y al ser las  $f_n$ continuas también lo es  $f.$ Concluimos que  $\mathcal{C}(I)$ es completo y por tanto de Banach.

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