Sistemas lineales escalonados

Proponemos ejercicios sobre sistemas lineales escalonados.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Resolver sobre $\mathbb{R}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr}
    3 \,x_1 & + & x_2 & – & \,x_3 & = & 9 \\
    & & 2\,x_2 & + & 5 \,x_3 & = & -15 \\
    & & & & 4\,x_3 & = & -12
    \end{array}
    \right .$$
  2. Resolver sobre $\mathbb{R}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr}
    x & + & 2\,y & – & 2\,z & = & 7 \\
    & & -\,y & + & 3 \,z & = & 2
    \end{array}
    \right .$$
  3. Resolver sobre $\mathbb{R}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr}
    7x & + & 3\,y & = & 2/3 \\
    & & 0\,y & = & -1
    \end{array}
    \right .$$
  4. Resolver sobre $\mathbb{C}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr}
    2i\;x_1 & + & (1+i)\,x_2 & = & 2/3 \\
    & & 2\,x_2 & = & 1-i
    \end{array}\right .$$
  5. Resolver sobre $\mathbb{Z}_5$ los sistemas escalonados $$a)\;\:\left \{ \begin{matrix} 3x+2y=4\\\qquad3y=1\end{matrix}\right.\quad b)\;\;\left \{ \begin{matrix} x+4y=1\\\qquad 0y=2\end{matrix}\right.\quad c)\;\;\left \{ \begin{matrix} 3x+2y=4\end{matrix}\right.$$
    Solución
  1. Usando sustitución regresiva, $$\begin{aligned}&x_3=-12/4=-3,\\&2x_2=-15+15=0\Rightarrow x_2=0,\\&3x_1=9-0-3=6\Rightarrow x_1=2.\end{aligned}$$ La única solución del sistema es $(x_1,x_2,x_3)=(2,0,-3)$ (compatible determinado).
  2. El sistema se puede escribir en forma equivalente como $$\left \{
    \begin{array}{rcrcrcr}
    x & + & 2\,y & = & 7 &+&2\,z \\
    & & -\,y & = & 2 &-&3\,z
    \end{array}
    \right .$$ Dando a $z$ el valor $z=\alpha\in\mathbb{R}$ obtenemos $$\begin{aligned}&y=-2+3\alpha,\\&x=7+2\alpha-2(-2+3\alpha)=11-4\alpha.\end{aligned}$$ Las soluciones del sistema son por tanto $$\left \{ \begin{aligned}&x=11-4\alpha\\&y=-2+3\alpha\\&z=\alpha\end{aligned} \right.\quad (\alpha\in\mathbb{R}).$$ El sistema es compatible e indeterminado.
  3. No existe número real $y$ que multiplicado por $0$ sea igual a $-1,$ por tanto el sistema es incompatible.
  4. Usando sustitución regresiva, $$\begin{aligned}&x_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i,\\&2i\,x_2=\dfrac{2}{3}-(1+i)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=-\dfrac{1}{3}\\&\qquad \Rightarrow x_2=-\dfrac{1}{6i}=\dfrac{1}{6}i.\end{aligned}$$ La única solución del sistema es $(x_1,x_2)=\left(i/6,\,1/2-1/2i\right)$ (compatible determinado).
  5. $a)\;$ $y=1\cdot 3^{-1}=1\cdot 2=2\Rightarrow 3x=4-2\cdot 2=0\Rightarrow x=0.$ La única solución del sistema es $(x,y)=(0,2)$ (compatible determinado).
    $b)\;$ No existe elemento $y\in \mathbb{Z}_5$ que multiplicado por $0$ sea igual a $2,$ por tanto el sistema es incompatible.
    $c)\;$ Multiplicando ambos miembros por $2$ obtenemos $$\left \{ \begin{matrix} 3x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x+4y=3\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=3-4y.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ Dando a $y$ todos los valores de $\mathbb{Z}_5=\{0,1,2,3,4\}$ obtenemos $$\begin{aligned}&y=0\Rightarrow x=3-4\cdot 0=3-0=3,\\ &y=1\Rightarrow x=3-4\cdot 1=3-4=3+1=4,\\&y=2\Rightarrow x=3-4\cdot 2=3-3=0,\\&y=3\Rightarrow x=3-4\cdot 3=3-2=1,\\&y=4\Rightarrow x=3-4\cdot 4=3-1=2.\end{aligned}$$ Las soluciones $(x,y)$ del sistema son por tanto $$(3,0),\;(4,1),\;(0,2)\; (1,3),\;(2,4)\;\;\text{ (compatible indeterminado).}$$
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