Reducción gaussiana

Proponemos ejercicios sobre reducción gaussiana.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} y+z=1\\x+z=1\\x+y=1\\-3x+2y+z=0\\x+2y+3z=3\end{matrix}\right.$$
  2. Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}3x_1-2x_2+4x_3=2\\-x_1+2x_3=0\\2x_1+x_3=-1\\x_1+2x_2+x_3=1.\end{matrix}\right.$$
  3. Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}2x_1-3x_2+2x_3+x_4=1\\-x_1+2x_2+x_3+2x_4=2\\4x_1-7x_2-3x_4=-3.\end{matrix}\right.$$
  4. Resolver en $\mathbb{Z}_7$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} x+6y=2\\2x+3y=3\\5x+5y=1.\end{matrix}\right.$$
    Solución
  1. Aplicando la reducción gaussiana: $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    0 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 0 & 1 \\
    -3 & 2 & 1 & 0 \\
    1 & 2 & 3 & 3 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_1\leftrightarrow F_2}\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{1} & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 0 & 1 \\
    -3 & 2 & 1 & 0 \\
    1 & 2 & 3 & 3 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_3- F_1\\F_4+3F_1\\F_5-F_1\end{matrix} $$ $$\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 0 & 1 & 1 \\
    0 &\boxed{ 1 } & 1 & 1 \\
    0 & 1 & -1 & 0 \\
    0 & 2 & 4 & 3 \\
    0 & 2 & 2 & 2 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_3- F_2\\F_4-2F_2\\F_5-2F_2\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & \boxed{-2} & -1 \\
    0 & 0 & 2 & 2 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    \end{array}\right] $$ $$ \begin{matrix}F_4+ F_3\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & -2 & -1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
    \end{array}\right].$$ El sistema dado es equivalente al escalonado $$\left \{ \begin{matrix}{x}&{}&{+\;z}&{=}&1\\{}&{y}&{+\;z}& =& 1\\{}&{}&{-2z}& = &-1\end{matrix}\right.$$ Entonces,
    $$\begin{aligned}&z=1/2,\\&y=1-1/2=1/2,\\&z=1-1/2=1/2.\end{aligned}$$ La única solución del sistema es $(x,y,z)=(1/2,1/2,1/2)$ (compatible determinado).
  2. Aplicando el método de Gauss: $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    3 & -2 & 4 & 2 \\
    -1 & 0 & 2 & 0 \\
    2 & 0 & 1 & -1 \\
    1 & 2 & 1 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_1\leftrightarrow F_2\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{-1} & 0 & 2 & 0 \\
    3 & -2 & 4 & 2 \\
    2 & 0 & 1 & -1 \\
    1 & 2 & 1 & 1
    \end{array}\right] \begin{matrix}F_2+3 F_1\\F_3+2F_1\\F_4+F_1\end{matrix} $$ $$\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    -1 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & \boxed{-2} & 10 & 2 \\
    0 & 0 & 5 & -1 \\
    0 & 2 & 3 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_4+F_2\sim\left[\begin{array}{ccc|c}
    -1 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & -2 & 10 & 2 \\
    0 & 0 & \boxed{5} & -1 \\
    0 & 0 & 13 & 3
    \end{array}\right]\end{matrix}$$ $$\begin{matrix}5F_4-13 F_3\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    -1 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & -2 & 10 & 2 \\
    0 & 0 & 5 & -1 \\
    0 & 0 & 0 & 18
    \end{array}\right].$$ El sistema dado es equivalente al escalonado $$\left \{ \begin{matrix}{x_1}&{}&{+2\;x_3} &{=}&1\\{}&{-2\,x_2}&{+10\;x_3}& =& 2\\{}&{}&{5\,x_3}& = &-1\\{}&{}&{0\,x_3}& = &18.\end{matrix}\right.$$ No existe número real $x_3$ que multiplicado por $0$ sea igual a $18,$ por tanto el sistema es incompatible.
  3. Aplicando la reducción gaussiana: $$\left[\begin{array}{cccc|c}
    2 & -3 & 2 & 1 & 1 \\
    -1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
    4 & -7 & 0 & -3 & -3 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_1\leftrightarrow F_2\sim\end{matrix}\left[\begin{array}{cccc|c}
    -1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
    2 & -3 & 2 & 1 & 1 \\
    4 & -7 & 0 & -3 & -3 \\
    \end{array}\right]$$ $$ \begin{matrix}F_2+2 F_1\\F_3+4F_1\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
    -1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
    0 & 1 & 4 & 5 & 5 \\
    0 & 1 & 4 & 5 & 5 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}\\F_3-F_2\end{matrix}$$ $$\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
    -1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
    0 & 1 & 4 & 5 & 5 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
    \end{array}\right].$$ El sistema dado es equivalente al escalonado $$\left \{ \begin{matrix}{-x_1}&{+2\,x_2}&{+\;x_3} & +2\,x_4&{=}&2\\{}&{\,x_2}&{+4\;x_3}& +\;5x_4& =& 5.\end{matrix}\right.$$ Llamando $x_3=\alpha,$ $x_4=\beta$ obtenemos $$\begin{aligned}&x_2=5-4\alpha-5\beta,\\&x_1=-2+2(5-4\alpha-5\beta)+\alpha+2\beta\\&\quad=8-7\alpha-8\beta.\end{aligned}$$ Por tanto, las soluciones del sistema son $$\left \{ \begin{aligned}&x_1=8-7\alpha-8\beta\\
    &x_2=5-4\alpha-5\beta\\
    &x_3=\alpha\\
    &x_4=\beta\end{aligned}\right.\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R}).$$ El sistema es compatible e indeterminado.
  4. Usando las conocidas operaciones de $\mathbb{Z}_7:$ $$\left[\begin{array}{cc|c}
    \boxed{1} & 6 & 2 \\
    2 & 3 & 3 \\
    5 & 5 & 1 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}F_2- 2F_1\\F_3-5F_1\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cc|c}
    1 & 6 & 2 \\
    0 & \boxed{5} & 6 \\
    0 & 3 & 5 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}5F_3- 3F_2\end{matrix} $$ $$\sim\left[\begin{array}{cc|c}
    1 & 6 & 2 \\
    0 & 5 & 6 \\
    0 & 0 & 0 \\
    \end{array}\right]. $$ El sistema dado es equivalente al sistema escalonado $$\left \{ \begin{matrix} x+\;6y=2\\\quad \;\;\;5y=6.\end{matrix}\right.$$ Tenemos $$\begin{aligned}&5y=6\Leftrightarrow y=5^{-1}\cdot 6=3\cdot 6=4,\\&x=2-6\cdot 4=2-3=2+4=6.\end{aligned}$$ La única solución del sistema es $(x,y)=(6,4)$ (compatible determinado).
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.