Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$

Demostramos en el siguiente problema que $l^1(\mathbb{N})$ es un espacio de Banach.

Enunciado
Sea $l^1(\mathbb{N})$ el conjunto de las sucesiones $x=(x_n)_1^{\infty}$ con términos en $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), tales que $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|$ es finito.

$a)\;$ Demostrar que $l^1(\mathbb{N})$ es espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto por un escalar.
$b)\;$ Demostrar que $\left\|x\right\|_1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|$ define una norma en $l^1(\mathbb{N}).$
$c)\;$ Demostrar que $\left(l^1(\mathbb{N}),\left\|\;\right\|_1\right)$ es de Banach.

Solución
$a)\;$ Basta demostrar que   $l^1(\mathbb{N})$ es subespacio del espacio vectorial de las sucesiones con términos en  $\mathbb{K}.$ Efectivamente, la sucesión nula claramente pertenece a $l^1(\mathbb{N}).$ Si  $x=(x_j)$ e $y=(y_j)$ son elementos de $l^1(\mathbb{N}),$ se verifica para todo  $k$ finito $$\sum_{j=1}^k\left|x_j+y_j\right|\leq \sum_{j=1}^k\left|x_j\right|+\sum_{j=1}^k\left|y_j\right|\leq \left\|x\right\|_1+\left\|y\right\|_1.$$ Haciendo  $k\to \infty,$ queda $$\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_j+y_j\right|\leq \left\|x\right\|_1+\left\|y\right\|_1,$$ lo cual demuestra que $x+y\in l^1(\mathbb{N})$ y además que  $$\left\|x+y\right\|_1\leq \left\|x\right\|_1+\left\|y\right\|_1.$$ Si  $\lambda\in\mathbb{K}$ y $x=(x_j)\in l^1(\mathbb{N})$ y usando el álgebra de series $$\sum_{j=1}^{\infty}\left|\lambda x_j\right|=\sum_{j=1}^{\infty}\left|\lambda\right|\left|x_j\right|=\left|\lambda\right|\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_j\right|\text{ (finito)},$$ lo cual demuestra que  $\lambda x\in l^1(\mathbb{N})$ y además que $\left\|\lambda x\right\|_1=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|_1.$

$b)\;$ La segunda y tercera propiedades de la norma se probaron el el apartado anterior. Por otra parte $$\left\|x\right\|_1=0\Leftrightarrow \sum_{j=1}^{\infty}\left|x_j\right|=0\Leftrightarrow \left|x_j\right|=0\:\forall j\Leftrightarrow x_j=0\;\forall j\Leftrightarrow x=0,$$ y por tanto $\left\|\;\right\|_1$ es norma.

$c)\;$ Sea $x^n=\left(x_j^n\right)_{j=1}^{\infty}$ una sucesión de Cauchy. Entonces, para todo $\epsilon >0$ existe un número natural $n_0$ tal que $\left\|x^m-x^n\right\|\leq \epsilon$ si $m,n\geq n_0$ y como consecuencia, $$\left|x_j^m-x_j^n\right|\leq \epsilon$$ para cualquier $j$ fijo. Esto implica que la sucesión $x_j^n$ es de Cauchy para todo $j$ fijo y por la completitud de $\mathbb{K}$ tiene un límite $\lim_{n\to \infty}x_j^n=x_j$ que pertenece a $\mathbb{K}.$ Consideremos ahora $$\sum_{j=1}^k\left|x_j^m-x_j^n\right|\leq \epsilon$$ y tomemos límites cuando $m\to \infty:$ $$\sum_{j=1}^k\left|x_j-x_j^n\right|\leq \epsilon$$ La igualdad anterior se verifica para todo $k$ finito, $$\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_j-x_j^n\right|\leq \epsilon$$ y por tanto, $\left\|x-x^n\right\|_1\leq \epsilon$ si $n\geq n_0.$ Esto demuestra que $x^n\to x,$ que $x-x^n\in l^1(\mathbb{N})$ y como consecuencia $x=x^n+(x-x^n)\in l^1(\mathbb{N}).$ Concluimos que  $l^1(\mathbb{N})$ es completo.

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