Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos

Proponemos problemas diversos sobre el método de Gauss para sistemas lineales.

    Enunciado
  1. Disponemos de tres montones de monedas y duplicamos las monedas del segundo montón tomando las necesarias del primer montón. Duplicamos después las monedas del tercer montón a costa del segundo montón. Por último, duplicamos las monedas del primer montón tomando las necesarias del tercer montón. Al final, el número de monedas en los tres montones es el mimo.
    $a)\;$ ¿Cuál es el mínimo número de monedas que permite hacer esto y como están distribuidas inicialmente?
    $b)\;$ ¿Puede hacerse con $6^{100}$ monedas?
  2. ¿De cuantas maneras pueden comprarse 20 sellos de $5,$ $25,$ y $40$ u.m. (unidades monetarias) cada uno por un importe total de $500$ u.m. de forma que adquiramos al menos uno de cada clase?
  3. La tabla siguiente muestra cuatro productos $P_1,$ $P_2,$ $P_3$ y $P_4$ junto con el número de unidades/gramo de vitaminas $A,$ $B$ y $C$ que poseen por unidad de peso. ¿Se puede elaborar una dieta que que contenga $10$ unidades de viamina $A,$ $20$ de $B$ y $5$ de $C$? $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{}&A&B&C&\\\hline
    {}P_1&1&2&0\\
    {}P_2&1&0&2\\
    {}P_3&2&1&0\\
    {}P_4&1&1&1
    \end{array}$$
    Solución
  1. $a)\;$ La situación al inicio y según los trasvases es: $$\begin{matrix}{\text{Inicio}}&{x}&{y}& z\\{\text{Primer trasvase}}&{x-y}&{2y}&z\\{\text{Segundo trasvase}}&{x-y}&{2y-z}& 2z\\{\text{Tercer trasvase}}&{2(x-y)}&{2y-z}& 2z-(x-y).\end{matrix}$$ La situación final es $2(x-y)=2y-z=2z-(x-y).$ Llamando $N$ al número total de monedas: $$\left \{ \begin{matrix}x+y+z=N\\2(x-y)=2y-z\\(2x-y)=2z-(x-y)\end{matrix}\right.\text{ o bien, }\quad \left \{ \begin{matrix}x+y+z=N\\2x-4y+z=0\\3x-3y-2z=0.\end{matrix}\right.$$ Escalonemos el sistema, $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{1} & 1 & 1 & N \\
    2 & -4 & 1 & 0 \\
    3 & -3 & -2 & 0
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2F_1\\F_3-3F_1}\end{matrix} \sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 1 & N \\
    0 & \boxed{-6} & -1 & -2N \\
    0 & -6 & -5 & -3N
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}F_3- F_2\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 1 & N \\
    0 & -6 & -1 & -2N \\
    0 & 0 & -4 & -N
    \end{array}\right]$$ El sistema es equivalente al escalonado $$\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\,z} &{=}&N\\{}&{-6\,y}&{-\,z}& =& -2N\\{}&{}&{-4\,z}& = &-N.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos $$z=\frac{N}{4},\quad y=\frac{7N}{24},\quad x=\frac{11N}{24}.$$ Como $x,y,z$ ha de der enteros positivos, tiene que ser múltiplos de $24,$ por tanto el menor número de monedas ha de ser $N=24,$ en cuyo caso $x=11,$ $y=7,$ $z=6.$
    $b)\;$ Se verifica $$6^{100}=(2\cdot3)^{100}=2^{100}\cdot 3^{100}=(2^3\cdot 3)\cdot 2^{97}\cdot 3^{99}=24\cdot (2^{97}\cdot 3^{99}),$$ luego $N=6^{100}$ es múltiplo de $24$ y la situación del problema es posible.
  2. Llamando $x,$ $y,$ $z$ al número de sellos que vamos a comprar de $5,$ $25,$ y $40$ u.m. respectivamente, $$\left \{ \begin{matrix}x+y+z=20\\5x+25y+40z=500.\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 1 & 20 \\
    5 & 25 & 40 & 500 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}\frac{1}{5}{F_2}\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{1} & 1 & 1 & 20 \\
    1 & 5 & 8 & 100
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-F_1}\end{matrix} $$ $$\sim\left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 1 & 20 \\
    0 & 4 & 7 & 80
    \end{array}\right]\equiv \left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\,z} &{=}&20\\{}&{4\,y}&{+7\,z}& =& 80.\end{matrix}\right.$$ Para $z=\lambda$ obtenemos $$\left \{ \begin{aligned}&x=\frac{3}{4}\lambda\\&y=20-\frac{7}{4}\lambda\\&z=\lambda\end{aligned} \right.\quad (\lambda\in\mathbb{R}).$$ Como las soluciones han de ser enteros positivos, los valores de $\lambda$ han de ser enteros positivos y múltiplos de $4.$ Si $\lambda=4$ obtenemos $(x,y,z)=(3,13,4).$ Si $\lambda=8$ obtenemos $(x,y,z)=(6,6,8).$ Para $\lambda\geq 12$ los valores de $y$ son negativos, por tanto las únicas soluciones al problema son: $$(x,y,z)=(3,13,4),\quad (x,y,z)=(6,6,8)$$
  3. Llamemos $x_i$ ($i=1,2,3,4$) a la cantidad de producto $P_i$ que vamos a utilizar para elaborar la dieta. De los datos de la tabla, $$\left \{ \begin{matrix}x_1+x_2+2x_3+x_4=10\\2x_1+x_3+x_4=20\\2x_2+x_4=5.\end{matrix}\right.$$ Aplicando el método de Gauss: $$\left[\begin{array}{cccc|c}
    \boxed{1} & 1 & 2 & 1 & 10 \\
    2 & 0 & 1 & 1 & 20 \\
    0 & 2 & 0 & 1 & 5
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2 F_1}\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 2 & 1 & 10 \\
    0 & \boxed{-2} & -3 & -1 & 0 \\
    0 & 2 & 0 & 1 & 5
    \end{array}\right] \begin{matrix}F_3+F_2\end{matrix} $$ $$\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 2 & 1 & 10 \\
    0 & -2 & -3 & -1 & 0 \\
    0 & 0 & -3 & 0 & 5
    \end{array}\right].$$ De la última ecuación se deduce que $x_3=-5/3$ lo cual es absurdo pues las cantidades $x_i$ han de ser todas no negativas. Concluimos que no se puede elaborar la dieta.
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