Series en espacios normados

Estudiamos algunas propiedades de las series en espacios normados.

1  Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie convergente en un espacio normado $E.$ Demostrar que $x_n\to 0.$ Dar un contraejemplo que demuestre que el recíproco no es cierto.

SOLUCIÓN

2  (Álgebra de series).  Sean  $\sum_{n\geq 0}x_n$ y  $\sum_{n\geq 0}x’_n$ dos series en un espacio normado  $E$ de sumas  $s$ y  $s’$ respectivamente.
$1.\;$ Demostrar que la serie suma  $\sum_{n\geq 0}(x_n+x’_n)$ es convergente de suma  $s+s’.$
$2.\;$ Demostrar que para todo  escalar $\lambda,$ la serie  $\sum_{n\geq 0}\lambda x_n$ es convergente de suma  $\lambda s.$

SOLUCIÓN

3  (Criterio de Cauchy para la convergencia de series).  Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie en un espacio normado $E.$ Demostrar que

$a)\;$  Si $\sum_{n\geq 0}x_n$ es convergente, entonces para todo $\epsilon>0$ existe número natural $n_0$ tal que si $m> n\geq n_0$ se verifica $\left\|x_{n+1}+\cdots+x_m\right\|<\epsilon.$
$b)\;$ Si $E$ es de Banach, el recíproco es cierto.

SOLUCIÓN

4  Una serie $\sum_{n\geq 0}x_n$  en un espacio normado $E$ se dice que es absolutamente convergente si, y solo si  $\sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|$ es convergente. Demostrar que si $\sum_{n\geq 0}x_n$ es una serie absolutamente convergente en un espacio de Banach $E,$ entonces
$a)\;$ $\sum_{n\geq 0}x_n$ es convergente.
$b)\;$ $\left\|\sum_{n\geq 0}x_n\right\|\leq \sum_{n\geq 0}\left\|x_n\right\|.$

SOLUCIÓN

5  Dada una serie $ \sum_{n\geq 1}x_n$ en un espacio normado $E,$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos viene dada por $$\left(x_1+\cdots+x_{\varphi (1)}\right)+\left(x_{\varphi (1)+1}+\cdots+x_{\varphi (2)}\right)+\cdots$$ en donde $1\leq\varphi(1)<\varphi(2)<\varphi(3)<\ldots,$ y $\varphi (n)$ es número natural para todo $n.$

Si $\sum_{n\geq 1}x_n$ es serie con suma $s\in E,$ demostrar que cualquier esquema de asociación de términos en paquetes finitos aplicada a dicha serie da lugar a una nueva serie con la misma suma $s.$

SOLUCIÓN
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