Sistemas lineales según parámetros

Discutimos sistemas lineales según parámetros.

    Enunciado
  1. Discutir y resolver en $\mathbb{R}$ según los valores del parámetro real $a$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}ax+y+z=1\\x+ay+z=a\\x+y+az=a.\end{matrix}\right. $$
  2. Discutir en $\mathbb{R}$ según los valores de los parámetro reales $c$ y $d$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}x+y+cz=0\\x+cy+z=0\\x+y+cz=d.\end{matrix}\right. $$
  3. Discutir y resolver en $\mathbb{Z}_{11}$ según los parámetros $a,b\in\mathbb{Z}_{11}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} 7x+3y=1\\2x+ay=b.\end{matrix}\right.$$
  4. Discutir en $\mathbb{R}$ según el valor del parámetro real $\lambda$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}\lambda x_1+x_2+x_3+x_4=1\\x_1+\lambda x_2+x_3+x_4=\lambda\\x_1+x_2+\lambda x_3+x_4=\lambda^2\\ x_1+x_2+x_3+\lambda x_4=\lambda^3.\end{matrix}\right. $$
    Solución
  1. Aplicando el método de Gauss: $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    a & 1 & 1 & 1 \\
    1 & a & 1 & a \\
    1 & 1 & a & a
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_1\leftrightarrow F_3}\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{1} & 1 & a & a \\
    1 & a & 1 & a \\
    a & 1 & 1 & 1
    \end{array}\right] \begin{matrix}{F_2- F_1\\F_3-aF_1}\end{matrix} $$ $$\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & a & a \\
    0 & \boxed{a-1} & 1-a & 0 \\
    0 & 1-a & 1-a^2 & 1-a^2
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_3+ F_2}\end{matrix}$$ $$\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & a & a \\
    0 & a-1 & 1-a & 0 \\
    0 & 0 & 2-a-a^2 & 1-a^2
    \end{array}\right]$$ $$\equiv \begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\,a\;z} &{=}&a\\{}&{(a-1)\,y}&{+(1-a)\;z}& =& 0\\{}&{}&{(2-a-a^2)\,z}& = &1-a^2.\end{matrix}\right.\quad (1)$$ Primer caso: $2-a-a^2=0.$ Resolviendo la ecuación obtenemos $a=-2$ o $a=1.$ Para $a=-2,$ la última ecuación de $(1)$ es $0z=-3,$ por tanto el sistema es incompatible. Para $a=1,$ el sistema $(1)$ se transforma en $x+y+z=1.$ Dando los valores $y=\lambda,$ $z=\mu$ obtenemos las soluciones $$(x,y,z)=(1-\lambda-\mu,\lambda,\mu),\quad (\lambda,\mu\in\mathbb{R}),$$ y el sistema es por tanto indeterminado.
    Segundo caso: $2-a-a^2\neq 0,$ o equivalentemente $a\neq 1$ y $a\neq -2.$ Tenemos, $$\begin{aligned}&z=\frac{a^2-1}{a^2+a-2}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)(a+2)}=\frac{a+1}{a+2},\\&y=z=\frac{a+1}{a+2},\\&x=a-\frac{a+1}{a+2}-\frac{a(a+1)}{a+2}=\frac{a^2+2a-a-1-a^2-a}{a+2}=-\frac{1}{a+2},\end{aligned}$$ y el sistema es por tanto compatible y determinado.
  2. Aplicando el método de Gauss: $$\left[\begin{array}{ccc|c}
    \boxed{1} & 1 & c & 0 \\
    1 & c & 1 & 0 \\
    1 & 1 & c & d
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2- F_1\\F_3-cF_1}\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & c & 0 \\
    0 & \boxed{c-1} & 1-c & 0 \\
    0 & 1-c & c-c^2 & d
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}F_3+ F_2\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & c & 0 \\
    0 & c-1 & 1-c & 0 \\
    0 & 0 & 1-c^2 & d
    \end{array}\right]$$ $$\equiv \begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\,c\;z} &{=}&0\\{}&{(c-1)\,y}&{+(1-c)\;z}& =& 0\\{}&{}&{(1-c^2)\,z}& = &d.\end{matrix}\right.\quad (1)$$ Primer caso: $1-c^2=0.$ Equivalentemente $c=\pm 1$ Para $c=-1,$ el sistema $(1)$ es $$\begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{-\;z} &{=}&0\\{}&{-2\,y}&{-2\;z}& =& 0\\{}&{}&{0\,z}& = &d.\end{matrix}\right.$$ Si $d\neq 0$ la última ecuación nos dice que el sistema es incompatible, y si $d=0$ el sistema $(1)$ es $$\begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{-\;z} &{=}&0\\{}&{-2\,y}&{-2\;z}& =& 0.\end{matrix}\right.$$ Dando a $z$ el valor $\lambda\in\mathbb{R}$ obtenemos infinitas soluciones, luego el sisteme es indeterminado. Para $c=1$ el sistema $(1)$ es $$\begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\;z} &{=}&0\\{}&{}&{0\,z}& = &d.\end{matrix}\right.$$ Si $d\neq 0$ la última ecuación nos dice que el sistema es incompatible, y si $d=0$ el sistema $(1)$ es $$\begin{matrix}\end{matrix}\left \{ \begin{matrix}{x}&{+\,y}&{+\;z} &{=}&0.\end{matrix}\right.$$ Dando a $z$ el valor $\lambda\in\mathbb{R}$ y a $y$ el valor $\mu\in\mathbb{R}$ obtenemos infinitas soluciones, luego el sistema es indeterminado.
    Segundo caso: $1-c^2\neq 0,$ o equivalentemente $c\neq -1$ y $c\neq 1.$ Tenemos, $$\begin{aligned}&z=\frac{d}{1-c^2}\quad\text{ (única para cada }c),\\&y=z \quad\text{ (única para cada }c),\\&x=-y-cz \quad \text{ (única para cada }c),\end{aligned}$$ y el sistema es por tanto compatible y determinado. Podemos concluir: $$\begin{aligned}&c\neq -1\wedge c\neq 1,\text{ compatible y determinado}\\
    &c=-1\left \{ \begin{matrix} d\neq0& \mbox{ incompatible }& \\d=0 & \mbox{ compatible e indeterminado }\end{matrix}\right.\\
    &c=1\left \{ \begin{matrix} d\neq0& \mbox{ incompatible }& \\d=0 & \mbox{ compatible e indeterminado. }\end{matrix}\right.\end{aligned}$$
  3. Usando las conocidas operaciones de $\mathbb{Z}_{11}:$ $$\left[\begin{array}{cc|c}
    \boxed{7} & 3 & 1 \\
    2 & a & b
    \end{array}\right]\begin{matrix}7F_2- 2F_1\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cc|c}
    7 & 3 & 1 \\
    0 & 7a-6 & 7b-2
    \end{array}\right]$$ $$\equiv \left \{ \begin{matrix} 7x&+\;3y=1\\&(7a-6)y=7b-2.\end{matrix}\right.\quad (1)$$ Primer caso: $7a-6=0.$ Equivalentemente, $7a=6,$ es decir $a=4.$ El sistema $(1)$ se transforma en $$\left \{ \begin{matrix} 7x&+\;3y=1\\&0y=7b-2.\end{matrix}\right.$$ La relación $7b-2=0$ se satisface exclusivamente para $b=5.$ Para $b\neq 5,$ la última ecuación es $0y=\underbrace{b-2}_{\neq 0}$ y el sistema es por tanto incompatible. Para $b=5$ el sistema $(1)$ se transforma en $7x+3y=1,$ y multiplicando ambas ecuaciones por $8,$ en $x+2y=8,$ o equivalentemente en $x=8+9y.$ Dando a $y$ todos los valores $y=0,1,\ldots 10$ de $\mathbb{Z}_{11}$ obtenemos $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{y}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline
    {}x=8+9y&8&6&4&2&0&9&7&5&3&1&10
    \end{array}$$ y el sistema es compatible e indeterminado.
    Segundo caso: $7a-6\neq 0.$ Equivalentemente, $a\neq 4.$ En este caso, $7a-6$ tiene inverso en $\mathbb{Z}_{11}.$ Entonces, $$\begin{aligned}&y=(7b-2)(7a-6)^{-1},\\&x=7^{-1}(1-3y)=8\left(1-3(7b-2)(7a-6)^{-1}\right).\end{aligned}$$ y el sistema es compatible y determinado. Podemos concluir: $$\begin{aligned}&a\neq 4,\text{ compatible y determinado}\\
    &a=4\left \{ \begin{matrix} b\neq 5& \mbox{ incompatible }& \\b=5 & \mbox{ compatible e indeterminado. }\end{matrix}\right.\end{aligned}$$
  4. Reordenando las ecuaciones, $$\left[\begin{array}{cccc|c}
    \boxed{1} & 1 & 1 & \lambda &\lambda^3 \\
    1 & 1 & \lambda & 1 & \lambda^2 \\
    1 & \lambda & 1 & 1 & \lambda \\
    \lambda & 1 & 1 & 1 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2- F_1\\F_3-F_1\\F_4-\lambda F_1}\end{matrix}\sim$$ $$ \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 1 & \lambda &\lambda^3 \\
    0 & 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda^2-\lambda^3 \\
    0 & \lambda-1 & 0 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^3 \\
    0 & 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda^4
    \end{array}\right]F_3\leftrightarrow F_2\sim$$ $$ \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 1 & \lambda &\lambda^3 \\
    0 & \boxed{\lambda-1} & 0 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^3 \\
    0 & 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda^2-\lambda^3 \\
    0 & 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda^4
    \end{array}\right]F_4+ F_2\sim$$ $$ \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 1 & \lambda &\lambda^3 \\
    0 & \lambda-1 & 0 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^3 \\
    0 & 0 & \boxed{\lambda-1} & 1-\lambda & \lambda^2-\lambda^3 \\
    0 & 0 & 1-\lambda & 2-\lambda -\lambda^2 & 1+\lambda-\lambda^3-\lambda^4
    \end{array}\right]F_4+ F_3\sim$$ $$ \left[\begin{array}{cccc|c}
    1 & 1 & 1 & \lambda &\lambda^3 \\
    0 & \lambda-1 & 0 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^3 \\
    0 & 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda^2-\lambda^3 \\
    0 & 0 & 0 & 3-2\lambda -\lambda^2 & 1+\lambda+\lambda^2-2\lambda^3-\lambda^4
    \end{array}\right].$$ Primer caso: $3-2\lambda -\lambda^2=0.$ Equivalentemente, $\lambda=1$ o $\lambda=-3.$ Para $\lambda=1$ el sistema dado es equivalente a $x_1+x_2+x_3+x_4=1,$ y por tanto compatible e indeterminado. Para $\lambda=-3,$ la última ecuación del sistema escalonado es $0x_4=-20,$ luego el sistema es incompatible.
    Segundo caso: $3-2\lambda -\lambda^2\neq 0.$ Equivalentemente, $\lambda\neq1$ y $\lambda\neq -3.$ En este caso, al ser también $\lambda-1\neq 0$ y usando sustitución regresiva deducimos inmediatamente que cada $x_i$ es única para cada $\lambda.$ Podemos concluir: $$\begin{aligned}&\lambda \neq 1\wedge \lambda\neq -3,\text{ compatible y determinado}\\
    &\lambda=1,\text{ compatible e indeterminado}\\
    &\lambda=-3, \text{ incompatible.}\end{aligned}$$
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