Normas equivalentes

Demostramos una caracterización de normas equivalentes y la equivalencia de las normas $p$ para $p=1,2,\infty.$

1  Demostrar que dos normas $\left\|\;\right\|$ y $\left\|\;\right\|^*$ de un espacio espacio vectorial $E$ son equivalentes, si y sólo si existen constantes reales $a>0$ y $b>0$ tales que $$a\left\|x\right\|\leq \left\|x\right\|^*\leq b\left\|x\right\|$$ para todo  $x\in E.$

SOLUCIÓN

2  Se consideran las normas de $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\begin{aligned}& \left\|x\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}\\&\left\|x\right\|_{1}=\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|.\\
&\left\|x\right\|_{2}=\sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}.\end{aligned}$$ en donde $x=(x_1,\ldots,x_n).$ Demostrar que $\left\|x\right\|_{\infty}\leq \left\|x\right\|_{p}\leq n^{1/p}\left\|x\right\|_{\infty}$ ($p=1,2)$ y concluir que la tres normas son equivalentes.

SOLUCIÓN
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