Concepto de transformada de Laplace

Definimos la transformada de Laplace y proporcionamos ejemplos de aplicación.

    Enunciado
    Sea $ f :(0.+\infty)\to \mathbb{R}$ una función. Se llama transformada de Laplace de la función $f$ y se representa por $ \mathcal{L}\{f(t)\}$ o por $ \mathcal{L}\{f\}$ a $$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt,$$ para todos los valores de $s$ para los cuales exista y sea finita la integral anterior.
  1. Calcular la transformada de Laplace de $f(t)=1.$
  2. Calcular $\mathcal{L}\{t\}.$
  3. Calcular la transformada de Laplace de $f(t)=e^{at}.$
  4. Calcular $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\}.$
  5. Demostrar que $\mathcal{L}\{\cos bt\}=\dfrac{s}{s^2+b^2}.$
    Solución
  1. $$\mathcal{L}\{1\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^{+\infty}\underbrace{=}_{\text{si }s>0}-\frac{1}{s}\left(e^{-\infty}-e^0\right)=\frac{1}{s}.$$ Si $s\leq0$ la integral es divergente, por tanto $\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s},\;s>0.$
  2. Usando la fórmula de integración por partes, $$\mathcal{L}\{t\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}t\;dt=\left[-\frac{e^{-st}}{s^2}(st+1)\right]_0^{+\infty}.$$ Calculando el correspondiente límite obtenemos fácilmente $$\mathcal{L}\{t\}=F(s)=\frac{1}{s^2},\;s>0.$$
  3. $$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int_0^{+\infty}e^{(a-s)t}dt=\left[\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\right]_0^{+\infty}$$ $$\underbrace{=}_{\text{si }s>a}\frac{1}{a-s}\left(e^{-\infty}-e^0\right)=\frac{1}{s-a},\; s>a.$$
  4. Usando la fórmula de integración por partes y que las funciones seno y coseno están acotadas, $$\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}\operatorname{sen}bt\;dt=\left[-\frac{e^{-st}}{s^2+b^2}\left(s\operatorname{sen}bt+b\cos bt\right)\right]_0^{+\infty}$$ $$=-\left[\frac{e^{-st}s\operatorname{sen}bt}{s^2+b^2}\right]_0^{+\infty}-\left[\frac{e^{-st}b\cos bt}{s^2+b^2}\right]_0^{+\infty}$$ $$\underbrace{=}_{\text{si }s>0}-\left(0-0\right)-\left(0-\frac{b}{s^2+b^2}\right)=\frac{b}{s^2+b^2},\; s>0.$$
  5. Usando la fórmula de integración por partes y que las funciones seno y coseno están acotadas, $$\mathcal{L}\{\operatorname{cos}bt\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}\operatorname{cos}bt\;dt=\left[\frac{e^{-st}}{s^2+b^2}\left(-s\operatorname{cos}bt+b\operatorname{sen} bt\right)\right]_0^{+\infty}$$ $$=-\left[\frac{se^{-st}}{s^2+b^2}\operatorname{cos}bt\right]_0^{+\infty}+\left[\frac{be^{-st}}{s^2+b^2}\operatorname{sen} bt\right]_0^{+\infty}$$ $$\underbrace{=}_{\text{si }s>0}-\left(0-\frac{s}{s^2+b^2}\right)+\left(0-0\right)=\frac{s}{s^2+b^2},\; s>0.$$
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