Transformada de Laplace de las derivadas

Proporcionamos la manera de hallar la transformada de Laplace de las derivadas de una función.

Enunciado
1.   Sea $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua y de orden exponencial $e^{\alpha t}.$ Sea $f’$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Demostrar que existe $\mathcal{L}\{f’(t)\}$ para todo $s>\alpha$ y además $$\mathcal{L}\{f’(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0).$$ Nota.  En general se verifica:
Sea  $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función con derivadas continuas hasta orden $n-1$ y todas ellas de orden exponencial  $e^{\alpha t}.$ Sea  $f^{(n)}$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Entonces, existe $\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}$ para todo $s>\alpha$ y además $$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^n\mathcal{L}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)-s^{n-3}f^{\prime\prime}(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0).$$ 2. Sabiendo que  $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2bt\}=\dfrac{2b^2}{s(s^2+4b^2)},$ hallar  $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}.$

3.  Sabiendo que  $\mathcal{L}\{t^2\}=\dfrac{2}{s^3},$ hallar  $\mathcal{L}\{t^4\}.$

4. Sabiendo que  $\mathcal{L}\{t^4\}=\dfrac{24}{s^5},$ hallar  $\mathcal{L}\{t^8\}.$

Solución
1. Por definición de transformada de Laplace, $$\mathcal{L}\{f’(t)\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}f’(t)\;dt=\lim_{R\to +\infty}\int_0^{R}e^{-st}f’(t)\;dt,$$ para los valores de $s$ para los cuales existe el límite anterior. Por la hipótesis de continuidad a trozos de la derivada de $f,$ en cualquier intervalo cerrado $[0,R],$ $f’$ tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades $c_i$ tales que $$0\leq c_1<c_2<\cdots<c_n\leq R.$$ Podemos por tanto expresar $$\int_0^{R}e^{-st}f’(t)\;dt=\int_0^{c_1}e^{-st}f’(t)\;dt+\int_{c_1}^{c_2}e^{-st}f’(t)\;dt+\cdots+\int_{c_n}^{R}e^{-st}f’(t)\;dt.$$ Aplicando la fórmula de integración por partes a cada uno de los sumandos del segundo miembro: $$\int_0^{R}e^{-st}f’(t)\;dt=\left[e^{-st}f(t)\right]_0^{c_1-}+s\int_0^{c_1}e^{-st}f(t)\;dt+\left[e^{-st}f(t)\right]_{c_1+}^{c_2-}$$ $$+s\int_{c_1}^{c_2}e^{-st}f(t)\;dt+\cdots +\left[e^{-st}f(t)\right]_{c_n+}^{R-}+s\int_{c_n}^{R}e^{-st}f(t)\;dt.\quad (1)$$ Por hipótesis, $f$ es continua para todo $t\geq 0,$ en consecuencia $$f(c_1-)=f(c_1+),\;f(c_2-)=f(c_2+),\;\ldots,\;f(c_n-)=f(c_n+).$$ Simplificando la igualdad $(1)$ obtenemos $$\int_0^{R}e^{-st}f’(t)\;dt=-f(0)+e^{-sR}f(R)+s\int_0^Re^{-st}f(t)\;dt.\quad (2)$$ Dado que $f$ es de orden exponencial $e^{\alpha t},$ existen $t_0>0,$ $M>0$ tales que $e^{-\alpha t}\left|f(t)\right|<M$ si $t>t_0,$ luego $\left|e^{-sR}f(R)\right|<Me^{-(s-\alpha)R}$ si $R>t_0.$ Entonces, si $s>\alpha,$ $$\lim_{R\to +\infty}e^{-sR}f(R)=0.$$ Tomando límites en $(2)$ obtenemos $$\mathcal{L}\{f’(t)\}=-f(0)+s\mathcal{L}\{f(t)\},$$ lo cual prueba el resultado.

2.  Si  $f(t)=\operatorname{sen}^2bt,$ entonces  $f’(t)=2b\operatorname{sen}bt\cos bt$ y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f’(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0).$$ En consecuencia, $$2b\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}=\dfrac{2b^2s}{s(s^2+4b^2)}$$ $$\Rightarrow \mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}=\dfrac{b}{s^2+4b^2},\; s>0.$$

3. Si  $f(t)=t^4,$ entonces $f^{\prime\prime}(t)=12t^2$  y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f^{\prime\prime}(t)\}=s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f’(0).$$ Por tanto, $$12\cdot \dfrac{2}{s^3}=s^2\mathcal{L}\{t^4\}-s\cdot 0-0\Rightarrow \mathcal{L}\{t^4\}=\frac{24}{s^5}.$$

4.  Si  $f(t)=t^8,$ entonces  $f^{\prime}(t)=8t^7,$  $f^{(2)}(t)=56t^6,$  $f^{(3)}(t)=336t^5,$  $f^{(4)}(t)=1680t^4$   y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f^{(4)}(t)\}=s^4\mathcal{L}\{f(t)\}-s^3f(0)-s^2f’(0)-sf^{(2)}(0)-f^{(3)}(0).$$ Por tanto, $$1680\cdot \dfrac{24}{s^5}=s^4\mathcal{L}\{t^8\}-s^3\cdot 0-s^2\cdot 0 -s\cdot 0-0\Rightarrow \mathcal{L}\{t^8\}=\frac{40320}{s^9}.$$ [/su_spoiler]

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