Propiedades de traslación de las transformadas de Laplace

Demostramos y damos ejemplos de aplicación de las propiedades de traslación de las transformadas de Laplace.

Enunciado
1.  Demostrar la primera propiedad de traslación de las transformadas de Laplace:
Supongamos que $f$ es una función tal que existe $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ para $s>\alpha.$ Entonces, se verifica $$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\;\text{ si }\; s>\alpha +a.$$ 2. Demostrar la segunda propiedad de traslación de las transformadas de Laplace:
Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ y de orden exponencial $e^{\alpha t}.$ Sea $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),\;s>\alpha$ y definamos para $a>0:$ $$g(t)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& 0<t<a\\f(t-a) & \mbox{ si }& t>a.\end{matrix}\right.$$ Entonces, $\mathcal{L}\{g(t)\}=e^{-as}F(s).$
3.   Sabiendo que $\mathcal{L}\{t^2\}=F(s)=\dfrac{2}{s^3}$ si $s>0,$ hallar $\mathcal{L}\{e^{at}t^2\}.$
4.  Sabiendo que $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\}=F(s)=\dfrac{1}{s^2+1}$ si $s>0,$ hallar $\mathcal{L}\{e^{at}\operatorname{sen}t\}.$
5. Hallar $\mathcal{L}\{g(t)\},$ siendo $$g(t)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& 0<t<\pi/2\\ \cos t & \mbox{ si }& t>\pi/2.\end{matrix}\right.$$
Solución
1.  Por hipótesis, $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt$ si $s>\alpha.$ Entonces, $$F(s-a)=\int_0^{+\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\;dt=\int_0^{+\infty}e^{-st}e^{at}f(t)\;dt=\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\},$$ igualdad válida para $s-a>\alpha$ o equivalentemente para $s>\alpha +a.$

2.  Efectuando la sustitución $t=u+a:$ $$\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}g(t)\;dt=\int_0^{a}e^{-st}g(t)\;dt+\int_a^{+\infty}e^{-st}g(t)\;dt$$ $$=0+\int_a^{+\infty}e^{-st}f(t-a)\;dt=\int_0^{+\infty}e^{-s(u+a)}f(u)\;du$$ $$=e^{-as}\int_0^{+\infty}e^{-su}f(u)\;du=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}=e^{-as}F(s).$$

3.  Usando la primera propiedad de traslación, $$\mathcal{L}\{e^{at}t^2\}=F(s-a)=\dfrac{2}{(s-a)^3},\;s>a.$$

4.  Usando la primera propiedad de traslación, $$\mathcal{L}\{e^{at}\operatorname{sen}t\}=F(s-a)=\dfrac{1}{(s-a)^2+1},\;s>a.$$

5.  Tenemos $\cos t=\cos (t+\pi/2-\pi/2).$ Llamando $f(t)=\cos (t+\pi/2)=-\operatorname{sen}t$ queda: $$g(t)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& 0<t<\pi/2\\ f(t-\pi/2) & \mbox{ si }& t>\pi/2.\end{matrix}\right.$$ Usando $\mathcal{L}\{-\operatorname{sen}t\}=-1/(s^2+1)$ y la segunda propiedad de traslación, $$\mathcal{L}\{g(t)\}=-\frac{e^{-\pi s/2}}{s^2+1},\;s>0.$$

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