Convolución de dos funciones

Usamos la convolución de dos funciones para calcular algunas transformadas inversas de Laplace.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la convolución es conmutativa.
  2. Usando la convolución, hallar  $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$
    Solución
  1. Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$
  2. Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ $$=g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_0^t\operatorname{sen}u\;du$$ $$=\left[-\cos u\right]_0^t=1-\cos t.$$
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