Convolución de dos funciones

TEORÍA

Enunciado
1.  Demostrar que la convolución es conmutativa.
2.  Usando la convolución, hallar  $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$

Solución
1.  Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$

2.  Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ $$=g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_0^t\operatorname{sen}u\;du$$ $$=\left[-\cos u\right]_0^t=1-\cos t.$$

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