Transformadas de Laplace: problemas diversos

Enunciado
1.  Sea  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Supongamos que $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$ Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(at)\}=\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right),\;a>0.$$ A esta propiedad se la llama propiedad del cambio de escala.
2.  Transformada de Laplace de la integral.  Sea  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\Rightarrow \mathcal{L}\{\int_0^tf(u)\;du\}=\frac{F(s)}{s}.$$ 3.  Transformada de Laplace de funciones periódicas.  Sea  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Supongamos además que $f$ es periódica de periodo $T>0.$ Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\displaystyle\int_0^Tf(t)\;dt}{1-e^{-sT}}.$$ 4.  Sea $q>-1$ número real. Demostrar que  $\mathcal{L}\{t^q\}=\dfrac{\Gamma (q+1)}{s^{q+1}},\:s>0.$
5.  Se llama función escala unitaria o función unitaria de Heaviside, a la función $$\mathcal{U}(t-a)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si } & t<a& \\1 & \mbox{ si }& t>a\end{matrix}\right.$$ Calcular $\mathcal{L}\left\{\mathcal{U}(t-a)\right\}.$
6.  Se define para $\epsilon>0$ la función $$f_{\epsilon}(t)=\left \{ \begin{matrix} 1/\epsilon & \mbox{ si } &0\leq t\leq \epsilon& \\0 & \mbox{ si }& t>\epsilon\end{matrix}\right.$$ $(a)\;$ Calcular $\mathcal{L}\left\{f_{\epsilon}(t)\right\}.$
$(b)\;$ Calcular  $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\mathcal{L}\left\{f_{\epsilon}(t)\right\}.$

Soluciones
1.  Efectuando la transformación $t=u/a:$ $$\mathcal{L}\{f(at)\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(at)\;dt=\frac{1}{a}\int_0^{+\infty}e^{-s(u/a)}f(u)\;du$$ $$=\frac{1}{a}\int_0^{+\infty}e^{-(s/a)u}f(u)\;du=\frac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right).$$

2.  Llamemos $g(t)=\int_0^tf(u)\;du.$ Entonces, $g(0)=0$ y $g’(t)=f(t).$ Aplicando $\mathcal{L}$ a los dos miembros de la última igualdad, $$\mathcal{L}\{g’(t)\}=s\mathcal{L}\{g(t)\}=s\mathcal{L}\{\int_0^tf(u)\;du\}.$$ En consecuencia, $$\mathcal{L}\{\int_0^tf(u)\;du\}=\frac{\mathcal{L}\{g’(t)\}}{s}=\frac{\mathcal{L}\{f(t)\}}{s}=\frac{F(s)}{s}.$$

3.  Por definición de transformada de Laplace, $$\begin{aligned}\mathcal{L}\{f(t)\}&=\int_{0}^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt\\
&=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\;dt+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)\;dt+\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)\;dt+\cdots\\
&=\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{kT}^{(k+1)T}e^{-st}f(t)\;dt.\end{aligned}$$ Efectuando la sustitución  $t=u+kT$ y usando la periodicidad de $f,$ $$\int_{kT}^{(k+1)T}e^{-st}f(t)\;dt=\int_{0}^{T}e^{-s(u+kT)}f(u+kT)\;du=e^{-ksT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)\;du.$$ Entonces, $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)\;du\cdot\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-ksT}.$$ Para $s>0$ se verifica $\left|e^{-sT}\right|<1,$ por tanto $$\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-ksT}=1+e^{-sT}+\left(e^{-sT}\right)^2+\left(e^{-sT}\right)^3+\cdots=\frac{1}{1-e^{-sT}}$$ Queda $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\displaystyle\int_0^Tf(t)\;dt}{1-e^{-sT}}.$$

4.  Efectuando la sustitución $st=u$ con $s>0:$ $$\mathcal{L}\{t^q\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}t^q\;dt=\int_0^{+\infty}e^{-u}\left(\frac{u}{s}\right)^q\frac{1}{s}\;du$$ $$=\frac{1}{s^{q+1}}\int_0^{+\infty}e^{-u}u^{(q+1)-1}du=\frac{\Gamma (q+1)}{s^{q+1}}.$$

5.  Tenemos para $s>0:$ $$\mathcal{L}\left\{\mathcal{U}(t-a)\right\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}\mathcal{U}(t-a)\;dt=\int_0^{a}0\;dt+\int_a^{+\infty}e^{-st}\;dt$$ $$=0-\frac{1}{s}\left[e^{-st}\right]_a^{+\infty}=-\frac{1}{s}\left(0-e^{-as}\right)=\frac{e^{-as}}{s}.$$

6.  $(a)\;$ Tenemos para $s>0:$ $$\mathcal{L}\left\{f_{\epsilon}(t)\right\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}f_{\epsilon}(t)\;dt=\int_0^{\epsilon}\frac{e^{-st}}{\epsilon}dt+\int_{\epsilon}^{+\infty}0\;dt$$ $$=-\frac{1}{\epsilon s}\left[e^{-st}\right]_{0}^{\epsilon}+0=-\frac{1}{\epsilon s}\left(e^{-\epsilon s}-1\right)=\frac{1-e^{-\epsilon s}}{\epsilon s}.$$ $(b)\;$ Usando la regla de L’Hopital: $$\lim_{\epsilon \to 0}\mathcal{L}\left\{f_{\epsilon}(t)\right\}=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1-e^{-\epsilon s}}{\epsilon s}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{se^{-\epsilon s}}{s}=\lim_{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon s}=1.$$

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