Matrices normales

Proporcionamos ejercicios sobre matrices normales.

TEORÍA

1 Comprobar que $A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}$ es matriz normal.

SOLUCIÓN

2 Aplicar el teorema espectral a la matriz normal: $$A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que
$1.\;$ Las matrices hermiticas antihermíticas y unitarias son normales.
$2.\;$ $A$ normal $\Rightarrow$ $ \left\|Ax\right\|=\left\|A^*x\right\|$ para todo $x\in\mathbb{C}^n.$
$3.\;$ Si $A$ es normal, entonces para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $x\in\mathbb{C}^n$,  $ Ax=\lambda x$ $\Rightarrow$  $A^*x=\bar{\lambda}x.$
$4.\;$ Vectores propios de una matriz normal asociados a valores propios distintos, son ortogonales.

SOLUCIÓN

4 Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{\;5}&{-2i}&{\;\;\;4}\\{2i}&{\;\;8}&{-2i}\\{\;4}&{\;\;2i}&{\;\;\;5}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que es normal y encontrar una matriz unitaria $U$ tal que $U^{-1}AU$ sea diagonal.

SOLUCIÓN
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