Resolución de sistemas diferenciales autónomos

No existe un método general para la resolución de sistemas diferenciales autónomos. En el siguiente ejercicio, se dan algunas técnicas. Designamos a la variable independiente por $t.$

Ejercicio
1.  Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix}  x_1^{\prime}=\cos^2(x_1+x_2) \\ x_2^{\prime}=\operatorname{sen}^2(x_1+x_2)\end{matrix}\right.\quad \text{con}\quad\left \{ \begin{matrix}  x_1(0)=0 \\ x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ 2.  Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix}  x_1^{\prime}=1+x_1^2\\ x_2^{\prime}=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \text{con}\quad\left \{ \begin{matrix}  x_1(0)=0 \\ x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 3.  Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix}  x^{\prime}=-y-x^2y \\ y^{\prime}=x-xy^2\end{matrix}\right.\quad \text{con}\quad\left \{ \begin{matrix}  x(0)=1/2 \\ y(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Sugerencia. Efectuar un cambio a coordenadas polares.
4.  Resolver el sistema diferencial$$\left \{ \begin{matrix}  x_1^{\prime}=-x_2x_3\\ x_2^{\prime}=\;\;\; x_1x_3\\\;\;x_3^\prime=x_1^2+x_2^2.\end{matrix}\right.$$ Sugerencia. Efectuar un cambio a coordenadas cilindricas.
5.  Resolver el sistema diferencial $$\left \{ \begin{matrix}  x^{\prime}=\;\;\;-xz\\ y^{\prime}=\;\;\; -yz\\\;\;z^\prime=x^2+y^2.\end{matrix}\right.$$ Sugerencia. Efectuar un cambio a coordenadas esféricas.
6.  Resolver $\quad \left \{ \begin{matrix}x’_1=2x_1+x_2+x_3\\x’_2=x_1+2x_2+x_3\\ x’_3=x_1+x_2+2x_3\end{matrix}\right.\quad$ con $\quad \left \{ \begin{matrix}x_1(1)=1\\x_2(1)=0\\ x_3(1)=3.\end{matrix}\right.$

Solución
1.  Sumando ambas ecuaciones $$x_1^{\prime}+x_2=^{\prime}\cos^2(x_1+x_2)+\operatorname{sen}^2(x_1+x_2)=1\Rightarrow (x_1+x_2)^{\prime}=1$$ $$\Rightarrow x_1+x_2=t+C\Rightarrow x_1(0)+x_2(0)=C\Rightarrow C=0\Rightarrow x_1+x_2=t.$$ Queda por tanto $x_1^{\prime}=\cos^2t,$  $x_2^{\prime}=\operatorname{sen}^2t.$ Integrando $$x_1=\int\cos^2t\;dt=\int \frac{1}{2}(1+\cos 2t)\;dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\operatorname{sen}2t+C_1,$$ $$x_2=\int\operatorname{sen}^2t\;dt=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2t)\;dt=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\operatorname{sen}2t+C_2.$$ Dado que $x_1(0)=x_2(0)=0,$ ha de ser $C_1=C_2=0.$ La solución del sistema es por tanto $$(x_1,x_2)=\frac{1}{4}(2t+\operatorname{sen}2t,2t-\operatorname{sen}2t).$$

2.  La primera ecuación es $$\frac{dx_1}{dt}=1+x_1^2, \text{ o bien }\frac{dx_1}{1+x_1^2}=dt,$$ que es una ecuación de variables separadas. Integrando, $\arctan x_1=t+C$ y de la condición iniclai $x_1(0)=0$ obtenemos $C=0.$ Queda por tanto $\arctan x_1=t,$ luego $x_1=\tan t.$ Sustituyendo en la segunda ecuación $$x_2^{\prime}=-2x_2\tan t, \text{ o bien } \frac{dx_2}{x_2}=-2\tan t,$$ que también es una ecuación de variables separadas. Integrando $$\log \left|x_2\right|=2\log \left|\cos t\right|+C,\quad x_2=K\cos^2t.$$ De la condición inicial $x_2(0)=1$ obtenemos $K=1,$ luego $x_2=\cos^2 t.$ La solución del sistema es por tanto $$(x_1,x_2)=(\tan t,\cos^2t).$$

3.  Derivando la relación $x^2+y^2=\rho^2,$ $$2xx^\prime+2yy^\prime=2\rho\rho^\prime\text{ o bien }xx^\prime+yy^\prime=\rho\rho^\prime.$$ De $x=\rho \cos \theta$ e $y=\rho\operatorname{sen}\theta,$ deducimos $\tan \theta=y/x$ o bien $\theta=\arctan (y/x).$ Derivando esta última igualdad, $$\theta^\prime=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot \frac{y^\prime x-x^\prime y}{x^2}=\frac{y^\prime x-x^\prime y}{x^2+y^2}=\frac{y^\prime x-x^\prime y}{\rho^2}.$$ En consecuencia tenemos las relaciones $$\left \{ \begin{matrix} xx^\prime+yy^\prime=\rho\rho^\prime \\ \theta^\prime=\frac{y^\prime x-x^\prime y}{\rho^2}.\end{matrix}\right.\qquad (1)$$ Sustituyendo en el sistema dado, $$\left \{ \begin{matrix} x(-y-x^2y)+y(x-xy^2)=\rho\rho^\prime \\ \theta^\prime=\frac{(x-xy^2) x-(-y-x^2y ) y}{\rho^2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}-xy(x^2+y^2)=\rho\rho^\prime \\ \theta^\prime=\frac{x^2+y^2}{\rho^2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}-\rho^4\cos\theta \operatorname{sen}\theta=\rho\rho^\prime \\ \theta^\prime=\frac{\rho^2}{\rho^2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}\rho^\prime=-\rho^3\cos\theta \operatorname{sen}\theta \\ \theta^\prime=1.\end{matrix}\right.\qquad (2)$$ Las condiciones iniciales en polares son $$\rho^2(0)=x(0)^2+y(0)^2=1/4,\quad \theta(0)=\arctan y(0)/x(0)=0.$$ De la primera ecuación de $(2),$  $\theta=t+C$ y de $\theta (0)=0$ queda  $\theta=t.$ Sustituyendo en la segunda ecuación de $(2),$ $$\theta^\prime =-\rho^3\cos t\operatorname{sen}t,\quad\frac{d\rho}{dt}=-\frac{\rho^3\operatorname{sen}2t}{2},$$ $$2\frac{d\rho}{\rho^3}+\operatorname{sen}2t\;dt=0,\quad -\frac{1}{\rho^2}-\frac{1}{2}\cos 2t=K.$$ De $\rho (0)=1/4,$ obtenemos $K=-9/2.$ Sustituyendo y simplificando queda $\rho=\sqrt{2/(9-\cos 2t)}.$ La solución del sistema dado expresada en polares es por tanto  $$\left \{ \begin{matrix}\rho=\sqrt{\frac{2}{9-\cos 2t}}\\ \theta=t.\end{matrix}\right.$$

4.  Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas son $$x_1^2+x_2^2=\rho^2,\quad \theta=\arctan \frac{x_2}{x_1},\quad x_3=x_3.$$ Derivando y simplificando $$x_1x_1^\prime+x_2x_2^\prime=\rho\rho^\prime,\quad \theta^\prime=\frac{x_2^\prime x_1-x_1^\prime x_2}{\rho^2},\quad x_3^\prime =x_3^\prime.$$ Sustituyendo en el sistema original $$x_1(-x_2x_3)+x_2(x_1x_3)=\rho\rho^\prime,\quad \rho\rho^\prime=0,$$ $$\theta^\prime=\frac{x_1^2x_3+x_2^2x_3}{\rho^2}=\frac{x_3(x_1^2+x_2^2)}{\rho^2}=x_3,$$ $$x_3^\prime=x_1^2+x_2^2=\rho^2.$$ Queda por tanto el sistema $$\rho^\prime=0,\quad \theta^\prime=x_3,\quad x_3^\prime=\rho^2.$$ De la primera ecuación obtenemos $\rho=C_1,$ de la tercera, $x_3=C_1^2t+C_2$ y de la segunda, $\theta=C_1^2 t^2/2+C_2t+C_3.$ En consecuencia $$\left \{ \begin{matrix} \rho=C_1 \\ \theta=C_1^2 t^2/2+C_2t+C_3\\x_3=C_1^2t+C_2\end{matrix}\right.\quad (C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}).$$

5.  Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y esféricas son $$x^2+y^2+z^2=\rho^2,\quad \theta=\arctan \frac{y}{x},\quad \varphi=\arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Derivando y simplificando $$xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime=\rho\rho^\prime,\quad \theta^\prime=\frac{y^\prime x-x^\prime y}{x^2+y^2},$$ $$\varphi^\prime=\frac{1}{1+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}}\cdot\frac{z^\prime\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{2xx^\prime+2yy^\prime}{2\sqrt{x^2+y^2}}z}{x^2+y^2}$$ $$=\frac{1}{\rho^2}\cdot \frac{(x^2+y^2)z^\prime-(xx^\prime+yy^\prime)z}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Sustituyendo en el sistema original $$x(-xz)+y(-yz)+z(x^2+y^2)=\rho\rho^\prime,\quad \rho\rho^\prime=0,$$ $$\theta^\prime=\frac{(-yz) x-(-xz) y}{x^2+y^2},\quad \theta^\prime=0,$$ $$\varphi^\prime=\frac{1}{\rho^2}\cdot \frac{(x^2+y^2)^2-\left(x(-xz)+y(-yz)\right)z}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$=\frac{1}{\rho^2}\cdot \dfrac{(x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)z^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{\rho^2}\cdot \dfrac{(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{z}{\tan \varphi}=\frac{\rho\operatorname{sen}\varphi}{\tan \varphi}=\rho \cos \varphi.$$ Queda por tanto el sistema $$\rho^\prime=0,\quad \theta^\prime=0,\quad \varphi^\prime=\rho \cos \varphi.$$ De la primera y segunda ecuaciones obtenemos $\rho =C_1$ y $\theta=C_2.$ Por otra parte, $$\varphi^\prime=\rho \cos \varphi,\quad\frac{d\varphi}{dt}=C_2\cos \varphi,\quad \frac{d\varphi}{\cos\varphi}=C_2t,$$ $$\log \left|\tan\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|=C_2\frac{t^2}{2}+K,\quad \tan\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=e^{C_2\frac{t^2}{2}+K},$$ $$\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{4}=\arctan C_3e^{C_2\frac{t^2}{2}},\quad \varphi=-\frac{\pi}{2}+2\arctan C_3e^{C_2\frac{t^2}{2}}.$$ En consecuencia $$\left \{ \begin{matrix} \rho=C_1 \\ \theta=C_2\\\varphi=-\frac{\pi}{2}+2\arctan C_3e^{C_2\frac{t^2}{2}}\end{matrix}\right.\quad (C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}).$$

6.  En este caso, el sistema autónomo es lineal homogéneo con coeficientes constantes, para el cual existe un método definido para su resolución. Ver apartado 1 aquí.

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