Suma de series por residuos

Estudiamos la manera de calcular la suma de algunas series, usando residuos.

    Enunciado
  1. Sea $N$ entero no negativo y $\Gamma_N$ el cuadrado de vértices $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\quad\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\;$$ $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i),\quad \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i).$$ Demostrar que existe $M>0$ tal que $\left|\cot \pi z\right|\leq M$ para todo $z\in\Gamma_N.$
  2. Sea $f(z)$ analítica en todo el plano complejo salvo en un número finito de polos $z_1,z_2,\ldots,z_m$ ninguno de los cuales es un número entero. Supongamos además que existen $H>0$ y $k>1$ tales que $$\left|f(z)\right|\leq \frac{H}{\left|z\right|^k}\text{ para }\left|z\right|\text{ suficientemente grande.}$$ Demostrar que $\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}f(n)=-\pi\sum_{j=1}^m \text{Res }_{z=z_j}\left(f(z)\cot\pi z\right).$
  3. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2-a^2}$ con $(a\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}).$
  4. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4-a^4}$ con $(a\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}).$
  5. Demostrar que $(a)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.\quad (b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}. $
  6. Sea $f(z)$ analítica en todo el plano complejo salvo en un número finito de polos $z_1,z_2,\ldots,z_m$ ninguno de los cuales es un número entero. Supongamos además que existen $H>0$ y $k>1$ tales que $\left|f(z)\right|\leq H/\left|z\right|^k$ para $\left|z\right|$ suficientemente grande. Con estas hipótesis, se demuestra que $$\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^nf(n)=-\pi\sum_{j=1}^m \text{Res }_{z=z_j}\left(f(z)\csc\pi z\right).$$ Usando este resultado, hallar $\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}\;(a>0).$

Solución. Ver página 2.
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