Raíces múltiples de polinomios

Proporcionamos ejercicios sobre raíces múltiples de polinomios.

1 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo de característica distinta de $0,$ $a$ es un elemento del cuerpo $\mathbb{K}$ y $p(x)\in\mathbb{K}[x].$  Demostrar que si $a$ es raíz de orden $k\geq 1$ de $p(x),$ entonces $a$ es raíz de orden $k-1$ de $p^{\prime}(x).$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que en $\mathbb{Z}_2[x],$  $a=1$ es raíz doble tanto de $p(x)=x(x+1)^2$ como de $p’(x).$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que $1$ es raíz al menos triple el polinomio $$p(x)=x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1.$$

SOLUCIÓN

4 Siendo $n\geq 1,$ hallar la multiplicidad de $1$ como raíz de $$\varphi(x)=(x^2-1)(x^n-1)\in\mathbb{C}[x].$$

SOLUCIÓN

5 Demostrar que el polinomio $p(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}\in\mathbb{R}[x]$ no tiene raíces múltiples.

SOLUCIÓN

6 Hallar las condiciones según las cuales el polinomio $$f(x)=x^5+10ax^3+5bx+c,\quad a,b,c\in\mathbb{C}$$ tiene al menos una raíz al menos triple y no nula.

SOLUCIÓN

7 Calcular la multiplicidad de la raíz $a$ de $$p(x)=\frac{x-a}{2}\left(f’(x)+f’(a)\right)-f(x)+f(a)\in\mathbb{C}[x],$$ siendo $f(x)\in\mathbb{C}[x].$

SOLUCIÓN
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