Raíces múltiples de polinomios

Proporcionamos ejercicios sobre raíces múltiples de polinomios.

    Enunciado
  1. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo de característica distinta de $0,$ $a$ es un elemento del cuerpo $\mathbb{K}$ y $p(x)\in\mathbb{K}[x].$ Demostrar que si $a$ es raíz de orden $k\geq 1$ de $p(x),$ entonces $a$ es raíz de orden $k-1$ de $p^{\prime}(x).$
  2. Demostrar que en $\mathbb{Z}_2[x],$ $a=1$ es raíz doble tanto de $p(x)=x(x+1)^2$ como de $p’(x).$
  3. Demostrar que $1$ es raíz al menos triple el polinomio $$p(x)=x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1.$$
  4. Siendo $n\geq 1,$ hallar la multiplicidad de $1$ como raíz de $$\varphi(x)=(x^2-1)(x^n-1)\in\mathbb{C}[x].$$
  5. Demostrar que el polinomio $p(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}\in\mathbb{R}[x]$ no tiene raíces múltiples.
  6. Hallar las condiciones según las cuales el polinomio $$f(x)=x^5+10ax^3+5bx+c,\quad a,b,c\in\mathbb{C}$$ tiene al menos una raíz al menos triple y no nula.
  7. Calcular la multiplicidad de la raíz $a$ de $$p(x)=\frac{x-a}{2}\left(f’(x)+f’(a)\right)-f(x)+f(a)\in\mathbb{C}[x],$$ siendo $f(x)\in\mathbb{C}[x].$
    Solución
  1. Si es raíz de orden $k\geq 1$ de $p(x),$ $p(x)=(x-a)^kq(x)$ con $q(x)\in \mathbb{K}[x]$ y $q(a)\neq 0.$ Derivando $$p^{\prime}(x)=k(x-a)^{k-1}q(x)+(x-a)^kq^{\prime}(x)$$ $$=(x-a)^{k-1}\left(kq(x)+(x-a)q^{\prime}(x)\right).$$ Sea $h(x)=kq(x)+(x-a)q^{\prime}(x),$ entonces $h(a)=kq(a).$ Ahora bien $q(a)\neq 0$ y $k1\neq 0$ pues $\mathbb{K}$ es de característica distinta de $0,$ luego $h(a)\neq 0.$
  2. En $\mathbb{Z}_2$ se verifica $-1=1,$ por tanto $p(x)=(x-1)^2x$ y claramente $a=1$ es raíz doble de $p(x).$ Derivando, $$p’(x)=\underbrace{(1+1)}_{=0}(x-1)x+(x-1)^2\cdot 1=(x-1)^2,$$ es decir $a=1$ también es raíz doble de $p’(x).$
  3. Las derivadas primera y segunda de $p(x)$ son $$p^{\prime}(x)=2nx^{2n-1}-n(n+1)x^n+n(n-1)x^{n-2},$$ $$p^{\prime\prime}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}-n^2(n+1)x^{n-1}+n(n-1)(n-2)x^{n-3}.$$ Sustituyendo $x=1,$ $$p(1)=1-n+n-1=0,$$ $$p^{\prime}(1)=2n-n(n+1)+n(n-1)=n(2-n-1+n-1)=0,$$ $$p^{\prime\prime}(0)=2n(2n-1)-n^2(n+1)+n(n-1)(n-2)$$ $$=n\left(4n-2-n^2-n+n^2-3n+2\right)=0,$$ luego $1$ es raíz al menos triple el polinomio $p(x).$
  4. Se verifica $\varphi (1)=0.$ Por otra parte, $$\varphi^{\prime}(x)=2x(x^n-1)+(x^2-1)nx^{n-1}\Rightarrow \varphi^{\prime}(1)=0,$$ $$\varphi^{\prime\prime}(x)=2(x^n-1)+2nx^{n}+2nx^n+(x^2-1)n(n-1)x^{n-2}$$ $$\Rightarrow \varphi^{\prime\prime}(0)=4n\neq 0,$$ luego $1$ es raíz doble de $\varphi (x).$
  5. Si $r$ es raíz múltiple de $p(x)$ se ha de verificar $p(r)=p^{\prime}(r)=0.$ Tenemos $$p(r)=1+\dfrac{r}{1!}+\dfrac{r^2}{2!}+\cdots+\dfrac{r^n}{n!}=0.\quad (1)$$ Por otra parte, $$p^{\prime}(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}$$ $$\Rightarrow p^{\prime}(r)=1+\dfrac{r}{1!}+\dfrac{r^2}{2!}+\cdots+\dfrac{r^{n-1}}{(n-1)!}=0.\quad (2)$$ Restando a la igualdad $(1)$ la $(2)$ obtenemos $r^n/n|=0,$ es decir $r$ ha de ser necesariamente $0.$ Pero claramente $0$ no es raíz de $p(x).$
  6. Las derivadas primera y segunda de $f(x)$ son $$f^{\prime}(x)=5x^4+30ax^2+5b,\quad f^{\prime\prime}(x)=20x^3+60ax.$$ Si $x$ es raíz al menos triple no nula de $f(x),$ $$\left \{ \begin{matrix} x^5+10ax^3+5bx+c=0 \\5x^4+30ax^2+5b=0 \\20x^3+60ax=0\end{matrix}\right.\underbrace{\Leftrightarrow}_{x\neq 0} \left \{ \begin{matrix} x^5+10ax^3+5bx+c=0 \\x^4+6ax^2+b=0 \\x^2+3a=0.\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo $x^2=-3a$ en la segunda igualdad $$9a^2-18a^2+b=0, \text{ o bien }b=9a^2.$$ La primera igualdad se puede expresar como $x\left(x^4+10ax^2+5b\right)+c=0.$ Sustituyendo en esta, $x=\sqrt{-3a},$ $$\sqrt{-3a}\left(9a^2-30a^2-b\right)=-c\text{ o bien }24a^2\sqrt{-3a}=-c.$$ Elevando al cuadrado obtenemos $-1728a^5=c^2.$ Las condiciones pedidas son por tanto $$\left \{ \begin{matrix} b=9a^2\\1728a^5+c^2=0.\end{matrix}\right.$$
  7. Se verifica $p(a)=0$ Derivando sucesivamente obtenemos $$p^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(f’(x)+f’(a)\right)+\frac{x-a}{2}f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime}(x)\Rightarrow p’(a)=0,$$ $$p^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)+\frac{x-a}{2}f^{\prime\prime\prime}(x)-f^{\prime\prime}(x)$$ $$=\frac{x-a}{2}f^{\prime\prime\prime}(x)\Rightarrow p^{\prime\prime}(a)=0,$$ $$p^{\prime\prime\prime}(x)=\frac{1}{2}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{x-a}{2}f^{(4)}(x)\Rightarrow p^{\prime\prime\prime}(a)=\frac{1}{2}f^{\prime\prime\prime}(a).$$ La multiplicidad de $a$ como cero de $p(x)$ es por tanto $k+3,$ siendo $k\geq 0$ la multiplicidad de $a$ como raíz de $f^{\prime\prime\prime}(x).$
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