Polinomio de interpolación de Lagrange

Proporcionamos ejercicios sobre el polinomio de interpolación de Lagrange.

    Enunciado
  1. Sean $x_0,$ $x_1,$ $\ldots,$ $x_n$ elementos distintos dos a dos de un cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\lambda_0,$ $\lambda_1,$ $\ldots,$ $\lambda_n$ elementos de $\mathbb{K}.$ Demostrar que existe un único polinomio $p\in\mathbb{K}[x]$ de grado $\leq n$ tal que $$p(x_0)=\lambda_0,\;p(x_1)=\lambda_1,\;\ldots\;,\;p(x_n)=\lambda_n.$$ Al polinomio $p$ se le llama polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos $(x_i,\lambda_i),$ $i=0.1,\ldots,n.$
  2. Encontrar en $\mathbb{R}[x]$ el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos $(1,3),$ $(-1,9),$ $(3,13).$
  3. Se considera la función $f(x)=\cos \dfrac{\pi x}{4}.$ Hallar el polinomio de menor grado que toma los mismos valores que $f$ en los puntos $-2,$ $-4/3,$ $0,$ $4/3,$ $2.$
    Solución
  1. Unicidad. Si existieran dos polinomios $p,q\in \mathbb{K}[x]$ de grado $\leq n$ cumpliendo $p(x_i)=\lambda_i$ y $q(x_i)=\lambda_i$ para todo $i=0.1,\ldots,n,$ entonces $(p-q)(x_i)=0$ para todo $i=0.1,\ldots,n.$ Esto implicaría que el polinomio $p-q$ que es de grado $\leq n$ tendría más de $n$ raíces y esto sólo puede ocurrir cuando $p-q=0,$ luego $p=q.$
    Existencia. El polinomio $$p(x)=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i\dfrac{(x-x_0)\ldots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\ldots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\ldots(x_i-x_n)}$$ es claramente de grado $\leq n$ y satisface $p(x_i)=\lambda_i$ para todo $i=0.1,\ldots,n.$
  2. El polinomio de interpolación de Lagrange es en este caso $$p(x)=\lambda_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+\lambda_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+\lambda_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$ siendo $(x_0,\lambda_0)=(1,3),$ $(x_1,\lambda_1)=(-1,9)$ y $(x_2,\lambda_2)=(3,13).$ Sustituyendo y operando obtenemos $p(x)=2x^2-3x+4.$
  3. El polinomio pedido es el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos $(x_i,f(x_i))$, $i=0,1,\ldots,4$ con $x_0=-2,$ $x_1-4/3,$ $x_2=0,$ $x_3=4/3,$ $x_4=2.$ Los valores de $y_i$ son $$y_0=f(-2)=\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0,\;y_1=f\left(-4/3\right)=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)=1/2,$$ $$y_2=f(0)=\cos 0=1,\;y_3=f\left(4/3\right)=\cos \frac{\pi}{3}=1/2,\;y_4=f(2)=\cos \dfrac{\pi}{2}=0.$$ Usando la correspondiente fórmula y operando, obtenemos: $$p(x)=\frac{1}{640}\left(9x^4-196x^2+640\right).$$
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