División euclídea de polinomios

Damos ejemplos de aplicación de la división euclídea de polinomios.

    Enunciado
  1. Efectuar la división de $A(x)=x^4+6x^3+10x^2+3x-6$ entre $B(x)=x^2+3x.$ Deducir de ello la descomposición de $A(x)$ en producto de dos trinomios de segundo grado.
  2. En $\mathbb{R}[x]$ hallar los siguientes restos
    $a)$ De la división de $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=x^2-1.$
    $b)$ De la división de $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=(x+1)^2.$
  3. En $\mathbb{R}[x]$ hallar los siguientes restos
    $a)$ De la división de $p(x)=(x+\sqrt{3})^{16}$ entre $q(x)=x^2+1.$
    $b)$ De la división de $(\cosh a+x\operatorname{senh}a)^n$ entre $x^2-1.$
  4. Sean $a$ y $b$ números reales distintos y $p(x)$ un polinomio real. Determinar el resto de la división de $p(x)$ entre $(x-a)(x-b)$ en función de $p(a)$ y de $p(b).$
  5. $(a)$ Usando el algoritmo de Euclides, hallar el máximo común divisor mónico $D(x)$ de los polinomios de $\mathbb{Q}[x]:$ $$p(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1,\quad q(x)=x^3-2x^2-2x-3.$$ $(b)$ Encontrar polinomios $\alpha (x),$ $\beta (x)$ en $\mathbb{Q}[x]$ tales que $$\alpha(x)\;p(x)+\beta (x)\;q(x)=D(x).$$
    Solución
  1. Efectuando la división obtenemos $$A(x)=B(x)(x^2+3x+1)-6.$$ Por tanto, podemos expresar $$A(x)=B(x)\left(B(x)+1\right)-6=B^2(x)+B(x)-6$$ $$=\left(B(x)-2\right)\left(B(x)+3\right)=(x^2+3x-2)(x^2+3x+3).$$
  2. $a)$ Según el teorema de la división euclídea de polinomios, existen únicos polinomios $c(x)$ y $r(x)=ax+b$ tales que $$x^{1237}-1=(x^2-1)c(x)+ax+b.\quad (1)$$ Las raíces de $x^2-1$ son $x=\pm 1.$ Sustituyéndolas en $(1),$ $$0=a+b,\quad -2=-a+b.$$ Resolviendo obtenemos $a=1,$ $b=-1,$ luego el resto pedido es $r(x)=x-1.$
    $b)$ Análogamente $$x^{1237}-1=(x+1)^2c(x)+ax+b.\quad (2)$$ La única raíz de $(x+1)^2$ es $x=-1$ (doble). Sustituyendo en $(2),$ $$-2=-a+b.$$ Derivando la igualdad $(2),$ $$1237x^{1236}=2(x+1)c(x)+(x+1)^2c’(x)+a.$$ Sustituyendo $x=-1$ en la igualdad anterior obtenemos $1237=a,$ luego el resto pedido es $r(x)=1237x+1235.$
  3. $a)$ Podemos expresar $$(x+\sqrt{3})^{16}=(x^2+1)c(x)+ax+b.\quad (1)$$ Las raíces de $x^2+1$ son $x=\pm i.$ Sustituyendo $x=i$ en $(1),$ $$(\sqrt{3}+i)^{16}=ai+b.\quad (2)$$ El módulo de $\sqrt{3}+i$ es $2$ y el argumento $\pi/6,$ por tanto $$(\sqrt{3}+i)^{16}=2^{16}\left(\cos 16\cdot\frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen} 16\cdot\frac{\pi}{6}\right)$$ $$=2^{16}\left(\cos 16\cdot 30^{\text{o}}+i\operatorname{sen} 16\cdot 30^{\text{o}}\right)$$ $$=2^{16}\left(\cos 16\cdot 30^{\text{o}}+i\operatorname{sen} 16\cdot 30^{\text{o}}\right)$$ $$=2^{16}\left(\cos 480^{\text{o}}+i\operatorname{sen} 480^{\text{o}}\right)$$ $$2^{16}\left(\cos 120^{\text{o}}+i\operatorname{sen} 120^{\text{o}}\right)=2^{16}\left(-1/2+i\sqrt{3}/2\right).$$ Igualando partes real e imaginaria en $(2),$ $a=2^{15}\sqrt{3}$ y $b=-2^{15}.$ El resto pedido es por tanto $$r(x)=2^{15}(\sqrt{3}x-1).$$ $b)$ Podemos expresar $$(\cosh a+x\operatorname{senh}a)^n=(x^2-1)c(x)+A x+B.\quad (1)$$ Las raíces de $x^2-1$ son $x=\pm 1.$ Sustituyendo en $(1),$ $$\left \{ \begin{matrix} (\cosh a+\operatorname{senh}a)^n=A+B\\(\cosh a-\operatorname{senh}a)^n=-A+B \end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \left(\dfrac{e^a+e^{-a}}{2}+\dfrac{e^a-e^{-a}}{2}\right)^n=A+B\\\left(\dfrac{e^a+e^{-a}}{2}-\dfrac{e^a-e^{-a}}{2}\right)^n=-A+B \end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{na}=A+B\\e^{-na}=-A+B \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=\dfrac{e^{na}-e^{-na}}{2}=\operatorname{senh}na\\B= \dfrac{e^{na}+e^{-na}}{2}=\cosh na.\end{matrix}\right.$$ El resto pedido es por tanto $r(x)=x\operatorname{senh}na+\cosh na.$
  4. Podemos expresar $$p(x)=(x-a)(x-b)c(x)+Ax+B.$$ Sustituyendo en la igualdad anterior $x=a$ y $x=b,$ $$\left \{ \begin{matrix} p(a)=Aa+B\\p(b)=Ab+B. \end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema anterior obtenemos el resto: $$Ax+B=\frac{p(a)-p(b)}{a-b}x+\frac{ap(b)-bp(a)}{a-b}.$$
  5. $(a)$ Efectuando las correspondientes divisiones euclídeas
    $$\begin{array}{c|c|c}
    {}&x+3&(1/10)x-3/10\\\hline
    {}x^4+x^3+2x^2+x+1&x^3-2x^2-2x-3&10x^2+10x+10\\\hline
    {}10x^2+10x+10&0&
    \end{array}$$ Entonces, $\text{mcd }(p(x),q(x))=10x^2+10x+10$ o bien, $$D(x)=\text{mcd }(p(x),q(x))=x^2+x+1\text{ (mónico)}.$$ $(b)$ De las divisiones hechas en el apartado anterior,
    $$10D(x)=10x^2+10x+10=p(x)-(x+3)q(x)$$ $$\Rightarrow \frac{1}{10}p(x)+\left(-\frac{1}{10}x-\frac{3}{10}\right)q(x)=D(x)$$ $$\Rightarrow \alpha(x)=\frac{1}{10},\; \;\beta(x)=-\frac{1}{10}x-\frac{3}{10}.$$
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