División euclídea de polinomios

Damos ejemplos de aplicación de la división euclídea de polinomios.

1 Efectuar la división de $A(x)=x^4+6x^3+10x^2+3x-6$ entre $B(x)=x^2+3x.$ Deducir de ello la descomposición de $A(x)$ en producto de dos trinomios de segundo grado.

SOLUCIÓN

2 En $\mathbb{R}[x]$ hallar los siguientes restos
$a)$ De la división de  $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=x^2-1.$
$b)$ De la división de  $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=(x+1)^2.$

SOLUCIÓN

3 En $\mathbb{R}[x]$ hallar los siguientes restos
$a)$ De la división de  $p(x)=(x+\sqrt{3})^{16}$ entre $q(x)=x^2+1.$
$b)$ De la división de  $(\cosh a+x\operatorname{senh}a)^n$ entre $x^2-1.$

SOLUCIÓN

4 Sean $a$ y $b$ números reales distintos y $p(x)$ un polinomio real. Determinar el resto de la división de $p(x)$ entre $(x-a)(x-b)$ en función de $p(a)$ y de $p(b).$

SOLUCIÓN

5 $(a)$  Usando el algoritmo de Euclides, hallar el máximo común divisor mónico $D(x)$ de los polinomios de $\mathbb{Q}[x]:$ $$p(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1,\quad q(x)=x^3-2x^2-2x-3.$$ $(b)$ Encontrar polinomios $\alpha (x),$ $\beta (x)$ en $\mathbb{Q}[x]$ tales que $$\alpha(x)\;p(x)+\beta (x)\;q(x)=D(x).$$

SOLUCIÓN
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