Polinomios en una variable: problemas diversos

    Enunciado
  1. Demostrar que el polinomio $f(x)=x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}\in\mathbb{R}[x]$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$ es divisible por $x^2+x+1.$
  2. Determinar $\lambda$ real para que el polinomio $P(x)=x^5-209x+\lambda$ admita dos ceros cuyo producto sea igual a $1.$
  3. Encontrar dos polinomios distintos en $\mathbb{Z}_3[x]$ que determinen la misma función de $\mathbb{Z}_3$ en $\mathbb{Z}_3.$
  4. Encontrar un polinomio $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ de quinto grado de manera que $P(x)+1$ sea divisible por $(x-1)^3$ y $P(x)-1$ sea divisible por $(x+1)^3.$
    Solución
  1. Dado que $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,$ se verifica la equivalencia $$x^2+x+1\mid f(x)\Leftrightarrow x^3-1\mid (x-1)f(x).$$ Desarrollando, $$(x-1)f(x)=(x-1)\left(x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}\right)$$ $$=x^{3a}(x-1)+x^{3b}(x^2-x)+x^{3c}(x^3-x^2).$$ Si $r$ es raíz de $x^3-1$ (real o compleja) se verifica $r^3=1,$ y por tanto $$(r-1)f(r)=1(r-1)+1(r^2-r)+1(1-r^2)=0.$$ Es decir, toda raíz de $x^3-1$ lo es de $(x-1)f(x)$ luego $x^3-1$ divide a $(x-1)f(x).$
  2. La condición impuesta equivale a que existe $a\in\mathbb{C}$ tal que el polinomio $x^2+ax+1$ divide a $P(x).$ Efectuando la división euclídea de $P(x)$ entre $x^2+ax+1,$ obtenemos como resto $$R(x)=\left(a^4-3a^2-208\right)x+a^3-2a+\lambda,$$ y los dos coeficientes han de ser nulos. Resolviendo la ecuación bicuadrada $$a^4-3a^2-208=0$$ obtenemos las soluciones $a=\pm 4$ y $a=\pm\sqrt{13}i.$ Sustituyendo $a=\pm 4$ en $a^3-2a+\lambda=0$ obtenemos $\lambda=\pm 56$ y sustituyendo $a=\pm\sqrt{13}i$ obtenemos valores complejos de $\lambda.$ La solución es por tanto $\lambda=\pm 56.$
  3. Los polinomios de $\mathbb{Z}_3[x],$ $f(x)=x^4+2x$ y $g(x)=x^2+2x$ son distintos, sin embargo, $$f(0)=0,\;f(1)=1+2=0,\;f(2)=1+1=2,$$ $$g(0)=0,\;g(1)=1+2=0,\;g(2)=1+1=2.$$ Es decir, $f$ y $g$ determinen la misma función de $\mathbb{Z}_3$ en $\mathbb{Z}_3.$
  4. Si $P(x)+1$ es divisible por $(x-1)^3$ entonces $(P(x)+1)’=P’(x)$ es divisible por $(x-1)^2.$ De manera análoga, $P’(x)$ es divisible por $(x+1)^2.$ Dado que $(x-1)^2$ y $(x+1)^2$ son primos entre sí, ha de ser $$P’(x)=\alpha(x-1)^2(x+1)^2=\alpha (x^2-1)^2\quad (\alpha\in\mathbb{R}).$$ Entonces, $P(x)$ es necesariamente de la forma $$P(x)=\alpha\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right)+\beta.$$ Como $P(x)+1$ es divisible por $(x-1)^3$ y $P(x)-1$ por $(x+1)^3,$ $P(1)+1=0$ y $P(-1)-1=0.$ Es decir $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & P(1)=-1\\& P(-1)=1 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \alpha\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)+\beta=-1\\& \alpha\left(-\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-1\right)+\beta=1 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \alpha=-\frac{15}{8}\\& \beta=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ El polinomio pedido es por tanto $$P(x)=-\frac{15}{8}\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right).$$
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