Clasificación de cónicas

Proporcionamos ejemplos de clasificación de cónicas, así como el correspondiente cuadro.

    Enunciado
  1. Determinar la naturaleza de las siguientes cónicas sin usar el cuadro de clasificación.
    $\quad 1)\; x^2+y^2=9.$
    $\quad 2)\; 4x^2+9y^2=36.$
    $\quad 3)\; 4x^2-9y^2=36.$
    $\quad 4)\; y-x^2=0.$
    $\quad 5)\;4x^2+9y^2=-36.$
    $\quad 6)\; x^2+y^2=0.$
    $\quad 7)\; x^2-y^2=0.$
    $\quad 8)\; x^2-5x+6=0.$
    $\quad 9)\; y^2=0.$
    $\quad 10)\;x^2+1=0.$
  2. Clasificar las cónicas
    $a)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1=0.$
    $b)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+2=0.$
    $c)\;$ $x^2+y^2+2y+1=0.$
  3. Clasificar las cónicas
    $a)\;$ $x^2-2xy-y^2+4x-6y-3=0.$
    $b)\;$ $2x^2+3xy+y^2+5x+2y-3=0.$
    $c)\;$ $x^2-2xy+y^2-6x+4y+1=0.$
  4. Clasificar las cónicas
    $a)\;$ $4x^2+4xy+y^2-4x-2y-3=0.$
    $b)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y+1=0.$
    $c)\;$ $4x^2+4xy+y^2+4x+2y+2=0.$
    Solución
  1. $1)\;$ La cónica es $x^2+y^2=3^2.$ Tenemos por tanto una circunferencia, o bien, una elipse degenerada.
    $2)\;$ Dividiendo entre $36$ queda $x/3^2+y^2/2^2=1.$ Tenemos por tanto una elipse.
    $3)\;$ Dividiendo entre $36$ queda $x/3^2-y^2/2^2=1.$ Tenemos por tanto una hipérbola.
    $4)\;$ Es una parábola.
    $5)\;$ Para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ $4x^2+9y^2\geq 0,$ por tanto la cónica es el conjunto vacío de puntos. Dada la similitud con la cónica $4x^2-9y^2=36,$ también decimos que se trata de una elipse imaginaria.
    $6)\;$ El único punto que satisface la ecuación es el $(0,0).$ Ahora bien, usando números complejos, $$x^2+y^2=0\Leftrightarrow x^2-(iy)^2=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0$$ $$\Leftrightarrow x+iy=0\;\vee\;x-iy=0.$$ Se trata pues de un par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real.
    $7)\;$ Tenemos las equivalencias $$x^2-y^2=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0\Leftrightarrow x+y=0\;\vee\;x-y=0.$$ Se trata pues de un par de rectas reales secantes.
    $8)\;$ Tenemos las equivalencias $$x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\Leftrightarrow x=2\;\vee\;x=3.$$ Se trata pues de un par de rectas paralelas reales.
    $9)\;$ La ecuación $y^2=0$ equivale a $y=0\vee y=0.$ Se trata pues de un par de rectas confundidas.
    $10)\;$ Para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ $x^2+1\neq 0,$ por tanto la cónica es el conjunto vacío de puntos. Ahora bien, usando números complejos, $x^2+1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\pm i.$ Se trata pues de un par de rectas paralelas imaginarias.
  2. Recordamos los resultados teóricos que conducen a la clasificación de cónicas. Sea la cónica $$\mathcal{C}:a_{11}x^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+a_{22}y^2+2a_{23}y+a_{33}=0,$$ y sean $$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{12}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{13}}&{a_{23}}&{a_{33}}\end{bmatrix},\;\Delta=\det A,\;\delta=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{12}}&{a_{22}}\end{vmatrix},\;s=a_{11}+a_{22}.$$ Tenemos entonces:
    A. Cónicas de tipo elíptico. $$\begin{matrix}{\delta>0}\end{matrix}\displaystyle\begin{aligned}& \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \Delta \neq 0 \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & s\Delta <0\;\text{ Elipse real.}\\& s\Delta >0\;\text{ Elipse imaginaria.} \end{aligned}\end{matrix}\right. \\& \Delta =0 \;\text{ Par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real.}\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ B. Cónicas de tipo hiperbólico. $$\begin{matrix}{\delta<0}\end{matrix}\displaystyle\begin{aligned}& \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \Delta\neq0 \; \text{ Hipérbola.} \\& \Delta =0 \;\text{ Par de rectas reales secantes. }\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ C. Cónicas de tipo parabólico.
    $$\begin{matrix}{\delta=0}\end{matrix}\displaystyle\begin{aligned}& \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \Delta\neq0 \; \text{ Parábola.} \\& \Delta =0 \;\text{ Par de rectas paralelas }\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \text{ Reales si }A_{11}+A_{22}<0\\& \text{ Imaginarias si }A_{11}+A_{22}>0 \\& \text{ Confundidas si }A_{11}+A_{22}=0 \;\;\square\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{-1}&{3}&{-2}\\{1}&{-2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=-3\neq 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{3}&{-1}\\{-1}&{3}\end{vmatrix}=8>0,\;s=3+3=6.$$ Dado que $s\Delta=-18<0,$ se trata de una elipse real.
    $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{-1}&{3}&{-2}\\{1}&{-2}&{2}\end{bmatrix},\;\Delta=5\neq 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{3}&{-1}\\{-1}&{3}\end{vmatrix}=8>0,\;s=3+3=6.$$ Dado que $s\Delta=30>0,$ se trata de una elipse imaginaria.
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{vmatrix}=1>0.$$ Se trata de un par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real.
  3. $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{-1}&{-1}&{-3}\\{2}&{-3}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta=13\neq 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{-1}\end{vmatrix}=-2<0.$$ Se trata de una hipérbola.
    $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{2}&{3/2}&{5/2}\\{3/2}&{1}&{1}\\{5/2}&{1}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta= 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{2}&{3/2}\\{3/2}&{1}\end{vmatrix}=-1/4<0.$$ Se trata de un par de rectas reales secantes.
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{-1}&{1}&{2}\\{-3}&{2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=-1\neq 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{vmatrix}=0.$$ Se trata de una parábola.
  4. $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{-2}\\{2}&{1}&{-1}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{1}\end{vmatrix}=0.$$ Se trata de un par de rectas paralelas. Además, $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{-3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{4}&{-2}\\{-2}&{3}\end{vmatrix}=-4-8=-12<0,$$ luego es un par de rectas paralelas reales.
    $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{2}&{4}&{-2}\\{-1}&{-2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{vmatrix}=0.$$ Se trata de un par de rectas paralelas. Además, $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{4}&{-2}\\{-2}&{1}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{vmatrix}=0,$$ luego es un par de rectas confundidas.
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{2}\\{2}&{1}&{1}\\{2}&{1}&{2}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{1}\end{vmatrix}=0.$$ Se trata de un par de rectas paralelas. Además, $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{1}&{2}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{2}\end{vmatrix}=1+4=5>0,$$ luego es un par de rectas paralelas imaginarias.
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