Rectas que componen las cónicas degeneradas

Damos ejemplos de cálculo de las rectas que componen las cónicas degeneradas.

    Enunciado
  1. Las siguientes cónicas son degeneradas. Hallar las rectas que la componen.
    $a)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3=0.$
    $b)\;$ $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3=0.$
  2. Hallar las rectas en las que degeneran las cónicas
    $a)\;$ $x^2+4xy+4y^2+2x+4y+2=0.$
    $b)\;$ $x^2+y^2+2x+1=0.$
    Solución
  1. $a)$ Podemos expresar la cónica en la forma $x^2+(4y-2)x+4y^2-4y-3=0.$ Resolviendo la ecuación de segundo grado en $x$ $$x=\frac{2-4y\pm\sqrt{16y^2-16y+4-16y^2+16y+12}}{2}$$ $$=\frac{2-4y\pm 4}{2}=\left\{3-2y,-1-2y\right\}.$$ Es decir, $$x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3=(x+2y-3)(x+2y+1),$$ y la cónica está compuesta por las rectas paralelas $x+2y-3=0$ y $x+2y+1=0.$
    $b)$ Podemos expresar la cónica en la forma $x^2+(3y+2)x+2y^2+5y-3=0.$ Resolviendo la ecuación de segundo grado en $x$ $$x=\frac{-3y-2\pm\sqrt{9y^2+12y+4-8y^2-20y+12}}{2}$$ $$=\frac{-3y-2\pm \sqrt{y^2-8y+16}}{2}=\frac{-3y-2\pm \sqrt{(y-4)^2}}{2}$$ $$=\frac{-3y-2\pm (y-4)}{2}=\left\{-y-3,-2y+1\right\}.$$ Es decir, $$x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3=(x+y+3)(x+2y-1),$$ y la cónica está compuesta por las rectas secantes $x+y+3=0$ y $x+2y-1=0.$
  2. $a)$ La cónica es $x^2+(4y+2)x+4y^2+4y+2=0.$ Entonces, $$x=\frac{-4y-2\pm\sqrt{16y^2+16y+4-16y^2-16y-8}}{2}$$ $$=\frac{-4y-2\pm 2i}{2}=\left\{-1+i-2y,-1-i-2y\right\}.$$ Es decir, $$x^2+4xy+4y^2+2x+4y+2=(x+2y+1-i)(x+2y+1+i),$$ y la cónica está compuesta por las rectas paralelas imaginarias $x+2y+1-i=0$ y $x+2y+1+i=0.$

    $b)$ Tenemos, $$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4y^4-4}}{2}=\frac{-2\pm 2iy}{2}=\left\{-1+iy,-1-iy\right\}.$$ Es decir, $$x^2+y^2+2x+1=(x-iy+1)(x+iy+1),$$ y la cónica está compuesta por las rectas imaginarias secantes $x-iy+1=0$ y $x+iy+1=0,$ que se cortan en el punto real $(-1,0).$

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