Ecuaciones reducidas de las cónicas

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de las ecuaciones reducidas de las cónicas.

    Enunciado
  1. Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas
    $a)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1=0.$
    $b)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+2=0.$
    $c)\;$ $x^2+y^2+2y+1=0.$
  2. Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas
    $a)\;$ $x^2-2xy-y^2+4x-6y-3=0.$
    $b)\;$ $2x^2+3xy+y^2+5x+2y-3=0.$
    $c)\;$ $x^2-2xy+y^2-6x+4y+1=0.$
  3. Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas
    $a)\;$ $4x^2+4xy+y^2-4x-2y-3=0.$
    $b)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y+1=0.$
    $c)\;$ $4x^2+4xy+y^2+4x+2y+2=0.$
    Solución
    Recordamos los resultados teóricos que conducen al cálculo de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Sea la cónica $$\mathcal{C}:a_{11}x^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+a_{22}y^2+2a_{23}y+a_{33}=0,$$ sean $$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{12}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{13}}&{a_{23}}&{a_{33}}\end{bmatrix},\;\Delta=\det A,\;\delta=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{12}}&{a_{22}}\end{vmatrix},$$ y $\lambda_1$ y $\lambda_2$ los valores propios de la matriz $\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{12}}&{a_{22}}\end{bmatrix}.$ Entonces,
    Caso 1. $\delta\neq 0.$ La ecuación reducida es $\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\dfrac{\Delta}{\delta}=0.$
    Caso 2. $\delta=0.$ En este caso un valor propio es cero. Supongamos $\lambda_1=0.$ Entonces,
    $i)$ Si $\Delta \neq 0$ la ecuación reducida es $\lambda_2y^2\pm2\sqrt{-\dfrac{\Delta}{\lambda_2}}x=0.$
    $ii)$ Si $\Delta = 0$ la ecuación reducida es $y^2+\dfrac{A_{11}+A_{22}}{\left(a_{11}+a_{22}\right)^2}=0.$ $\;\square$
  1. $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{-1}&{3}&{-2}\\{1}&{-2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=-3,\;\delta=\begin{vmatrix}{3}&{-1}\\{-1}&{3}\end{vmatrix}=8.$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{-1}\\{-1}&{3-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-6\lambda+8=0\Leftrightarrow \lambda=2\vee\lambda =4.$$ La ecuación reducida es por tanto $2x^2+4y^2-\dfrac{3}{8}=0.$
    $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{1}\\{-1}&{3}&{-2}\\{1}&{-2}&{2}\end{bmatrix},\;\Delta=5,\;\delta=\begin{vmatrix}{3}&{-1}\\{-1}&{3}\end{vmatrix}=8.$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{-1}\\{-1}&{3-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-6\lambda+8=0\Leftrightarrow \lambda=2\vee\lambda =4.$$ La ecuación reducida es por tanto $2x^2+4y^2+\dfrac{5}{8}=0.$
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{vmatrix}=1.$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{0}\\{0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2=0\Leftrightarrow \lambda=1\vee\lambda =1.$$ La ecuación reducida es por tanto $x^2+y^2=0.$
  2. $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{-1}&{-1}&{-3}\\{2}&{-3}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta=13,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{-1}\end{vmatrix}=-2$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-2 =0\Leftrightarrow \lambda=\pm\sqrt{2}.$$ La ecuación reducida es por tanto $\sqrt{2}x^2-\sqrt{2}y^2-\dfrac{13}{2}=0.$
    $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{2}&{3/2}&{5/2}\\{3/2}&{1}&{1}\\{5/2}&{1}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta= 0,\;\delta=\begin{vmatrix}{2}&{3/2}\\{3/2}&{1}\end{vmatrix}=1/4.$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{3/2}\\{3/2}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda-17/4 =0\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{1\pm 3\sqrt{2}}{2}.$$ La ecuación reducida es por tanto $(1+3\sqrt{2})x^2+(1-3\sqrt{2})y^2=0.$
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-3}\\{-1}&{1}&{2}\\{-3}&{2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=-1,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{vmatrix}=0.$$ Valores propios $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{-1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda =0\Leftrightarrow \lambda=0\vee \lambda=2.$$ La ecuación reducida es por tanto $2y^2\pm 2\sqrt{1/2}\;x=0.$ o bien $y^2\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}x=0.$
  3. $a)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{-2}\\{2}&{1}&{-1}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{1}\end{vmatrix}=0,$$ $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{-3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{4}&{-2}\\{-2}&{3}\end{vmatrix}=-4-8=-12.$$ La ecuación reducida es por tanto $$y^2+\dfrac{A_{11}+A_{22}}{\left(a_{11}+a_{22}\right)^2}=0,\text{ es decir }y^2-\frac{12}{25}=0.$$ $b)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{2}&{4}&{-2}\\{-1}&{-2}&{1}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{vmatrix}=0,$$ $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{4}&{-2}\\{-2}&{1}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{vmatrix}=0.$$ La ecuación reducida es $y^2=0.$
    $c)$ Tenemos $$A=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{2}\\{2}&{1}&{1}\\{2}&{1}&{2}\end{bmatrix},\;\Delta=0,\;\delta=\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{1}\end{vmatrix}=0,$$ $$A_{11}+A_{22}=\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{1}&{2}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{2}&{2}\end{vmatrix}=1+4=5.$$ La ecuación reducida $y^2+\dfrac{1}{5}=0.$
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