Función exponencial real

En este problema se demuestra la existencia y unicidad de la función exponencial real.

Enunciado
Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface  $f^{\prime}=f$ y  $f(0)=1.$ Se pide,

$1.$  Demostrar que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
$2.$  Demostrar que la función $f$ es única. Es decir, si una función $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface  $g^{\prime}=g$ y  $g(0)=1,$ entonces  $f=g.$
$3.$  Demostrar que  $f$ es estrictamente creciente y convexa.
$4.$  Demostrar que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se verifica $f(x+y)=f(x)f(y).$
$5.$  Demostrar que para todo $a$ real y para todo $n$ entero positivo se verifica $f(na)=f(a)^n.$
$6.$  Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=0.$
$7.$  Demostrar que la función $$f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ está definida en $\mathbb{R}$ y satisface las condiciones  $f’=f$ y $f(0)=1.$
Nota. El lector habrá reconocido que $f(x)=e^x.$

SOLUCIÓN

$1.$  Derivando la función  $f(x)f(-x)$ $$\frac{d}{dx}f(x)f(-x)=f^{\prime}(x)f(x)+f(x)f^{\prime}(x)(-1)=0\Rightarrow f(x)f(-x)=c$$ $$\Rightarrow f(0)^2=c\Rightarrow 1=c\Rightarrow f(x)f(-x)=1\Rightarrow f(x)\neq 0\;\forall x\in \mathbb{R}.$$ Además,  $f(-x)=1/f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}.$

$2.$  Tenemos $$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{g(x)^2}=\frac{f(x)g(x)-g(x)f(x)}{g(x)^2}=0$$ $$\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}=K\Rightarrow f(x)=Kg(x)\Rightarrow f(0)=Kg(0)\Rightarrow K=1$$ $$\Rightarrow f(x)=g(x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow f=g.$$ $3.$  Como  $f^{\prime}(x)\neq 0$ para todo $x$ real y  $f’=f,$ se verifica  $f^{\prime}(x)\neq 0.$ Al ser $f^{\prime}(0)=$ $f(0)$ $=$ $1>0,$ se deduce del teorema de Bolzano que $f^{\prime}(x)> 0$ para todo $x$ real, luego   $f$ es estrictamente creciente. Por otra parte,   $f^{\prime\prime}=f^{\prime}>0$  y por tanto  $f$ es convexa.

$4.$  Consideremos la función  $h(x)=f(a+x)$ con $a$ real fijo. Derivando obtenemos $$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(a+x)=f(a+x)=h(x).$$ Razonando de manera análoga a la del segundo apartado, deducimos que $h(x)=Cf(x)$ para alguna constante $C.$ Para $x=0$ tenemos  $C=h(0)=f(a).$ En consecuencia, $$h(x)=Cf(x)\Rightarrow f(a+x)=f(a)f(x),$$ y esto demuestra la propiedad enunciada sin más que denotar por $x$ al número $a.$

$5.$  Trivialmente se verifica $f(na)=f(a)^n$ para $n=1.$ Si la fórmula es cierta para $n,$ $$f\left((n+1)a\right)=f(na+a)=f(na)f(a)=f(a)^nf(a)=f(a)^{n+1}$$ es decir, es cierta para $n+1.$

$6.$  Como  $f$ es estrictamente creciente $f(1)>f(0)=1.$ En consecuencia, $$\lim_{n\to +\infty}f(n)=\lim_{n\to +\infty}f(n\cdot 1)=\lim_{n\to +\infty}f( 1)^n\underbrace{=}_{f(1)>1}=+\infty.$$ De nuevo, usando que $f$ es estrictamente creciente, se deduce $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$ Por otra parte, $$f(-n)=\frac{1}{f(n)}=\frac{1}{f(1)^n}\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}f(-n)=0\Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)=0.$$ $7.$  Usando el criterio del cociente a la serie dada $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{x^n}{n!}\right|=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x}{n+1}\right|=0<1\;\;(\forall x\in\mathbb{R}).$$ En consecuencia la serie converge para todo $x$ lo cual implica que  $f$ está definida en $\mathbb{R}.$ Trivialmente  $f(0)=1.$ La serie es de potencias y según un conocido resultado, se puede derivar término a término. Para todo $x$ real, $$f’(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{d}{dx}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{kx^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}=f(x).$$

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