Superficies regladas

Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies regladas.

    Enunciado
  1. Hallar la ecuación cartesiana del cilindro $S$ de generatrices paralelas al vector $(1,1,1)$ y cuya directriz es la curva $$C:\;x=\frac{t}{t-1},\;y=\frac{t^2}{t-1},\;z=\frac{t^3}{t-1}.$$
  2. Hallar la ecuación del cilindro cuya sección recta (perpendicular a las generatrices) viene dada por la curva $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=z\\& x^2+2y^2-1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
  3. Hallar la ecuación cartesiana del cono de vértice $V(0,0,0)$ y directriz la curva $$C:x=t,\; y=t^2,\quad z=t^3.$$
  4. Hallar la ecuación cartesiana del cono de vértice $V(1,0,0)$ y directriz la curva $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=z\\& x^2+2y^2-1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
    Solución
    Recordamos que la ecuaciones paramétricas de una superficie reglada $S$ de directriz la curva $C$ de ecuaciones paramétricas $x=x(t),$ $y=y(t),$ $z=z(t)$ con generatrices en cada punto $P\left(x(t),y(t),z(t)\right)$ paralelas al vector $V_P=\left(v_x(t),v_y(t),v_z(t)\right)$ son $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=x(t)+\lambda v_x(t)\\& Y=y(t)+\lambda v_y(t)\\ &Z=z(t)+\lambda v_z(t). \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
  1. En nuestro caso, $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=\frac{t}{t-1}+\lambda \\& Y=\frac{t^2}{t-1}+\lambda \\ &Z=\frac{t^3}{t-1}+\lambda. \end{aligned}\end{matrix}\right. $$ Eliminemos los parámetros, $$Y-X=\frac{t^2-t}{t-1}=\frac{t(t-1)}{t-1}=t,\quad Z-Y=\frac{t^3-t^2}{t-1}=\frac{t^2(t-1)}{t-1}=t^2.$$ La ecuación pedida es $Z-Y=(Y-X)^2.$ Operando queda $$S:X^2+Y^2-2XY+Y-Z=0.$$
  2. Describimos el método general para hallar la ecuación de un cilindro cuando la directriz $C$ viene dada por la intersección de dos superficies $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f(x,y,z)=0\\& g(x,y,z)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Si $(a,b,c)$ es vector paralelo a las generatrices, dividiendo entre $c,$ obtenemos un vector de la forma $(m,n,1).$ Eligiendo un punto de cada generatriz de la forma $(p,q,0),$ las ecuaciones de las generatrices son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=p+\lambda m\\& Y=q+\lambda n \\ &Z=\lambda\end{aligned}\end{matrix}\right.\text{ o bien }\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=p+mZ\\& Y=q+ nZ.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la directriz obtenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f(p+mZ,p+nZ,Z)=0\\& g(p+mZ,q+nZ,Z)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ de entre las relaciones anteriores, obtenemos una relación $R(p,q)=0,$ que sustituida por sus valores, proporciona la ecuación de la superficie $$R\left(X-mZ,Y-nZ\right)=0.\qquad \square$$ En nuestro caso, la directriz está contenida en el plano $x-z=0$ y un vector normal es el $(-1,0,1).$ Las generatrices son por tanto de la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=p-Z\\& Y=q.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la directriz, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & p-Z=Z\\& (p-Z)^2+2q^2-1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ de entre las relaciones anteriores, obtenemos la relación $p^2+8q^2-4=0.$ Sustituyendo por sus valores, obtenemos la ecuación del cilindro, $$(X+Z)^2+8Y^2-4=0.$$
  3. En general, toda generatriz de un cono $S$ de vértice $V(x_0,y_0,z_0)$ y directriz $C: x=x(t),$ $y(t),$ $z=z(t),$ pasa por $V$ y por un punto $P(x(t),y(t),z(t))$ de la directriz. Las ecuaciones paramétricas del cono son por tanto $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=x_0+\lambda \left(x(t)-x_0\right)\\& Y=y_0+\lambda \left(y(t)-y_0\right)\\ & Z=z_0+\lambda \left(z(t)-z_0\right). \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ En nuestro caso, $S:X=\lambda t,\;Y=\lambda t^2,\;Z=\lambda t^3.$ Eliminando parámetros $$\frac{Y}{X}=t,\;\frac{Z}{Y}=t\Rightarrow \frac{Z}{Y}=\frac{Y}{X}.$$ La ecuación cartesiana del cono es por tanto $Y^2-ZX=0.$
  4. En general, sea $S$ un cono de vértice $V(x_0,y_0,z_0)$ y directriz la curva $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f(x,y,z)=0\\& g(x,y,z)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Sea $(a,b.c)$ un vector de dirección de una generatriz. Dividiendo entre entre $c$ obtenemos un vector de la forma $(\lambda,\mu,1).$ Las ecuaciones de las generatrices son $$\frac{X-x_0}{\lambda}=\frac{Y-y_0}{\mu}=Z-z_0,\text{ o bien } \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=x_0+\lambda (Z-z_0)\\& Y=y_0+ \mu (Z-z_0).\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la directriz obtenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f\left(x_0+\lambda (Z-z_0),y_0+\mu (Z-z_0),Z\right)=0\\& g\left(x_0+\lambda (Z-z_0),y_0+\mu (Z-z_0),Z\right)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ de entre las relaciones anteriores, obtenemos una relación $R(\lambda,\mu )=0,$ que sustituida por sus valores, proporciona la ecuación del cono $$R\left(\frac{X-x_0}{Z-z_0},\frac{Y-y_0}{Z-z_0}\right)=0.\qquad \square$$ En nuestro caso, las generatrices son de la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=1+\lambda Z\\& Y= \mu Z.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la directriz, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 1+\lambda Z=Z\\& (1+\lambda Z)^2+2\mu^2Z^2-1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ de entre las relaciones anteriores, obtenemos la relación $\lambda ^2-2\mu ^2-2\lambda=0.$ Sustituyendo por sus valores y simplificando obtenemos la ecuación del cono, $$X^2-2Y^2-2Z^2-2X+2Z+1=0.$$
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