Superficies: problemas diversos

Proporcionamos diversos problemas sobre superficies.

    Enunciado
  1. Hallar la ecuación de la superficie que proyecta la elipse $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\& z=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ desde el punto $V(0,0,c).$
  2. Dada la curva $C:x=t,\;y=t^2,\;z=t^3,$ determinar la superficie engendrada por las rectas tangentes en cada punto.
  3. Hallar las ecuaciones de los cilindros que proyectan la hélice $$C:x=\cos t,\;y=\operatorname{sen} t,\;z=t$$ paralelamente a los ejes de coordenadas.
  4. Hallar la ecuación de la superficie reglada formada por todas las rectas que cortan ortogonalmente al eje $OZ$ y se apoyan en la circunferencia $$C:y^2+z^2=1,\;x=1.$$
  5. Hallar la ecuación de un cono de revolución de vértice $V(1,1,1),$ eje $x=2z-1,$ $y=z$ y ángulo de cada generatriz con el cono igual a $\pi/3.$
  6. Una recta se mueve manteniéndose paralela al plano $XOY$ y apoyándose en las rectas $$r:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=2z\\& x=3, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad s:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=-2z\\& x=3. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Hallar la ecuación de la superficie que engendra.
  7. Determinar la superficie de traslación obtenida al desplazarse la recta $r: $ $x=y=z$ a lo largo de la curva $C:$ $y=x^2,$ $y=x^3.$
  8. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la recta que se mueve apoyándose en las tres rectas $$r_1:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=2\\& y=3 \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad r_2:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=-2\\& z=-4 \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad r_3:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=-3\\& z=4. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
    Solución
  1. Las ecuaciones de las generatrices son $$\frac{X}{\lambda}=\frac{Y}{\mu}=Z-c,\text{ o bien } \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=\lambda (Z-c)\\& Y= \mu (Z-c).\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la directriz, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\lambda^2(Z-c)^2}{a^2}+\frac{\mu^2(Z-c)^2}{b^2}=1\\& Z=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ de entre las relaciones anteriores, obtenemos $\lambda ^2c^2/a^2+\mu ^2c^2/b^2=1.$ Sustituyendo por sus valores y simplificando obtenemos la ecuación del cono, $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}-\frac{(Z-c)^2}{c^2}=0.$$
  2. El vector tangente a la curva en cada punto $P\left(t,t^2,t^3\right)$ es $v=\left(1,2t,3t^2\right).$ Las ecuaciones paramétricas de la superficie $S$ pedida son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=t+\lambda\\& Y=t^2+2\lambda t\\ &Z=t^3+3\lambda t^2. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
  3. Un vector paralelo al eje $OZ$ es $(0,0,1),$ por tanto, las ecuaciones paramétricas del cilindro que proyecta $C$ sobre el eje $OZ$ son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=\cos t\\& Y=\operatorname{sen} t\\ &Z=t+\lambda. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $t$ y $\lambda,$ obtenemos $X^2+Y^2=1.$
    Un vector paralelo al eje $OY$ es $(0,1,0),$ por tanto, las ecuaciones paramétricas del cilindro que proyecta $C$ sobre el eje $OY$ son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=\cos t\\& Y=\lambda +\operatorname{sen} t\\ &Z=t. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $t$ y $\lambda,$ obtenemos $X-\cos Z=0.$ De manera análoga obtenemos el tercer cilindro: $Y-\cos Z=0.$
  4. Las rectas que cortan ortogonalmente al eje $OZ$ son $Y=\lambda X,\;Z=\mu.$ Obligando a que corten a $C,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \lambda^2X^2+\mu^2=1\\& X=1. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $X$ obtenemos la relación $\lambda^2+\mu^2=1$ y sustituyendo por sus valores $\lambda=Y/X$ y $\mu=Z$ obtenemos la superficie pedida, $$Y^2+X^2\left(Z^2-1\right)=0.$$
  5. Las rectas que pasan por $V(1,1,1)$ son de la forma $$\frac{X-1}{\lambda}=\frac{Y-1}{\mu}=\frac{Z-1}{1}.$$ Un vector de dirección del eje es $u=(2,1,1)$ y uno de las generatrices, $v=(\lambda,\mu,1).$ Obligando a que formen un ángulo de $\pi/3,$ $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{\langle u, v\rangle}{\left|u\right|\left|v\right|}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{2\lambda+\mu +1}{\sqrt{6}\sqrt{\lambda^2+\mu^2+1}}.$$ Elevando al cuadrado y simplificando, $$5\lambda^2-\mu^2+8\lambda\mu+8\lambda+4\mu-1=0.$$ Sustituyendo $\lambda=(X-1)/(Z-1),$ $\mu=(Y-1)/(Z-1)$ y simplificando obtenemos la ecuación del cono: $$5X^2-Y^2-Z^2+8XY+8XZ+4YZ-26X-10Y-10Z+23=0.$$
  6. Las ecuaciones de las rectas paralelas al plano $XOY$ y que se apoyan en $r$ son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & Z=\lambda\\& X-3+\mu(Y-2Z)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a $s,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & Z=\lambda\\& -6-4\mu Z=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $Z$ queda $2\lambda\mu +3=0.$ Sustituyendo $\lambda =Z$ y $\mu =(X-3)/(2Z-Y)$ queda $$2XZ-3Y=0.$$
  7. Las ecuaciones paramétricas de $r$ y $C$ son $$r:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=t\\& y=t \\ &z=t, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=u\\& y=u^2\\&z=u^3. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Un punto común es el origen, por tanto la superficie de traslación pedida es $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=t+u\\& Y=t+u^2 \\ &Z=t+u^3. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminemos parámetros. Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & Y-X=u^2-u=u(u-1)\\& Z-Y=u^3-u^2=u^2(u-1) \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow u=\frac{Z-Y}{Y-X}.$$ Usando que $t=X-u$ y sustituyendo en la segunda ecuación de $S:$ $$Y=X-\frac{Z-Y}{Y-X}+\frac{(Z-Y)^2}{(Y-X)^2},$$ y simplificando obtenemos $$S:(Y-X)^2(Z-X)-(Z-Y)^2=0.$$
  8. Rectas que se apoyan en $r_1$ y $r_2$ $$r:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X-2+\lambda (Y-3)=0\\& X+2+\mu (Z+4)=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad (\lambda,\mu\in\mathbb{R}).$$ Obliguemos a que corten a $r_3.$ Sustituyendo $Y=-3,$ $Z=4,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X-2-6\lambda=0\\& X+2+8\mu=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando $X$ obtenemos $3\lambda +4\mu+2=0,$ que es la relación que han de cumplir las rectas $r$ para que pertenezcan a la superficie. Sustituyendo en esta relación $\lambda$ y $\mu$ por sus valores, $$-3\cdot\frac{X-2}{Y-3}-4\cdot \frac{X+2}{Z+4}+2=0.$$ Operando, obtenemos la ecuación de la superficie pedida: $$2(Y-3)(Z+4)-3(X-2)(Z+4)-4(X+2)(Y-3)=0.$$
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