Superficies: problemas diversos

Proporcionamos diversos problemas sobre superficies.

1 Hallar la ecuación de la superficie que proyecta la elipse $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\& z=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ desde el punto $V(0,0,c).$

SOLUCIÓN

2 Dada la curva $C:x=t,\;y=t^2,\;z=t^3,$ determinar la superficie engendrada por las rectas tangentes en cada punto.

SOLUCIÓN

3 Hallar las ecuaciones de los cilindros que proyectan la hélice $$C:x=\cos t,\;y=\operatorname{sen} t,\;z=t$$ paralelamente a los ejes de coordenadas.

SOLUCIÓN

4 Hallar la ecuación de la superficie reglada formada por todas las rectas que cortan ortogonalmente al eje $OZ$ y se apoyan en la circunferencia $$C:y^2+z^2=1,\;x=1.$$

SOLUCIÓN

5 Hallar la ecuación de un cono de revolución de vértice $V(1,1,1),$ eje $x=2z-1,$ $y=z$ y ángulo de cada generatriz con el cono igual a $\pi/3.$

SOLUCIÓN

6 Una recta se mueve manteniéndose paralela al plano $XOY$ y apoyándose en las rectas $$r:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=2z\\& x=3, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad s:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=-2z\\& x=3. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Hallar la ecuación de la superficie que engendra.

SOLUCIÓN

7 Determinar la superficie de traslación obtenida al desplazarse la recta $r: $ $x=y=z$ a lo largo de la curva $C:$ $y=x^2,$ $y=x^3.$

SOLUCIÓN

8 Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la recta que se mueve apoyándose en las tres rectas $$r_1:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=2\\& y=3  \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad r_2:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=-2\\& z=-4 \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad r_3:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y=-3\\& z=4. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN
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