Operaciones con números complejos

Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos.

    Enunciado
  1. Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$
  2. Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$
  3. Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo.
  4. $a)$ Demostrar que si $z\in\mathbb{C},$ entonces $\text{Re }z>0\Leftrightarrow \left|z-1\right|<\left|z+1\right|.$
    $b)$ Demostrar que si $x+yi=(s+ti)^n$ con $n\in \mathbb{N},$ $x,y,s,t\in\mathbb{R},$ entonces $x^2+y^2=(s^2+t^2)^n.$
  5. Demostrar que si $r$ es raíz de un polinomio $p(z)\in\mathbb{C}[z]$ con coeficientes reales, también $\overline{r}$ es raíz de $p(z).$
  6. Sabiendo que el polinomio $p(z)=4z^4-12z^3+13z^2-12z +9$ tiene la raíz compleja $r=i,$ hallar todas sus raíces.
  7. Determinar el valor real del parámetro $a$ para que la ecuación en $z$ $$\left|z\right|^2-(3-4i)z-(3-4i)\overline{z}+a=0$$ represente una circunferencia en el plano complejo de radio $3.$
  8. Sean $z_1=1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n$ las distintas raíces enésimas de la unidad. Demostrar que $(1-z_2)(1-z_3)\ldots(1-z_n)=n.$
  9. Sea $G=\{z\in \mathbb{C}:\left|z\right|=1\}.$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es grupo.
    Solución
  1. $a)$ $\displaystyle\frac{3-2i}{1+4i}=\frac{(3-2i)(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)}=\frac{3-8+(-2-12)i}{1^2+4^2}=-\frac{5}{17}-\frac{14}{17}i.$
    $b)$ $i^{23}=i^{20}i^3=\left(i^{4}\right)^5(-i)=1^{5}(-i)=-i.$
    $c)$ $\displaystyle\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}=\frac{\text{Re }z}{\left|z\right|^2}-\frac{\text{Im }z}{\left|z\right|^2}i.$
    $d)$ $\displaystyle\frac{z-1}{z+1}=\frac{z-1}{z+1}\cdot\frac{\overline{z}+1}{\overline{z}+1}=\frac{\left|z\right|^2-1}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}+\frac{2\text{Im }z}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}i.$
    $e)$ Usando la fórmula del binomio de Newton $$(1-2i)^4=\binom{4}{0}1^4(2i)^0-\binom{4}{1}1^3(2i)^1+\binom{4}{2}1^2(2i)^2-\binom{4}{3}1^1(2i)^3+\binom{4}{4}1^0(2i)^4$$ $$=1-4\cdot2i+6\cdot4i^2-4\cdot8i^3+1\cdot 16i^4=1-8i-24+32i+16=-7+24i.$$ $f)$ Tenemos para $x,y$ números reales $$\sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=3\\& 2xy=-4. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Resolvamos el sistema anterior. Sustituyendo $y=-2/x$ en la primera ecuación $$x^2-\frac{4}{x^2}=3,\;\;x^4-3x^2-4=0,\;\;x^2=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\{4,-1\}.$$ Como $x$ es real, queda $x=\pm 2$ y por tanto, $y=\mp1.$ Es decir, $\sqrt{3-4i}=\pm(2-i).$
  2. Tenemos $$\displaystyle z=\frac{2+i\pm\sqrt{(2+i)^2-4(-1+7i)}}{2}=\frac{2+i\pm\sqrt{7-24i}}{2}$$ $$=\ldots =\frac{2+i\pm (4-3i)}{2}=\{3-i,-1+2i\}.$$
  3. Sea $z=x+yi$ con $x,y$ reales. Entonces, $$z^3=\overline{z}\Leftrightarrow (x+yi)^3=x-yi\Leftrightarrow x^3+3x^2(yi)+3x(yi)^2+(yi)^3=x-yi$$ $$\Leftrightarrow x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i=x-yi\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^3-3xy^2=x\\& 3x^2y-y^3=-y \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(x^2-3y^2-1)=0\\& y(3x^2-y^2+1)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ De la primera ecuación del sistema anterior se deduce que $x=0$ o $x^2-3y^2-1=0.$ Si $x=0,$ sustituyendo en la segunda obtenemos $y(1-y^2)=0,$ es decir $y=0$ 0 $y=\pm 1.$ Por tanto, los números complejos $0,$ y $\pm i$ satisfacen las condiciones del problema.
    Si $x^2-3y^2-1=0,$ de la segunda ecuación se deduce $y=0$ o $3x^2-y^2+1=0.$ Si $y=0,$ entonces queda $x=\pm 1.$ Si $3x^2-y^2+1=0,$ queda el sistema $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-3y^2-1=0\\& 3x^2-y^2+1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por $3$ obtenemos $8y^2+4=0,$ lo cual no proporciona ninguna solución.
    Los números pedidos son por tanto $0,\;\pm1,\;\pm i.$
  4. $a)$ Tenemos las siguientes equivalencias $$\left|z-1\right|<\left|z+1\right|\Leftrightarrow \left|z-1\right|^2<\left|z+1\right|^2\Leftrightarrow (z-1)\left(\overline{z-1}\right)<(z+1)\left(\overline{z+1}\right)$$ $$\Leftrightarrow(z-1)\left(\overline{z}-1\right)<(z+1)\left(\overline{z}+1\right)\Leftrightarrow z\overline{z}-\overline{z}-z+1<z\overline{z}+\overline{z}+z+1$$ $$\Leftrightarrow 0<2\left(z+\overline{z}\right)\Leftrightarrow 0<\text{Re }z.$$ $b)$ Tomando módulos en ambos miembros $$\left|x+yi\right|=\left|(s+ti)^n\right|=\left|s+ti\right|^n.$$ Elevando al cuadrado $$\left|x+yi\right|^2=\left|s+ti\right|^{2n}=\left(\left|s+ti\right|^{2}\right)^n\Rightarrow x^2+y^2=(s^2+t^2)^n.$$
  5. Sea $p(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kz^k$ con $a_k\in\mathbb{R}$ para todo $k.$ Usando conocidas propiedades del conjugado$$r\text{ es raíz de }p(z)\Rightarrow p(r)=0\Rightarrow \sum_{k=0}^na_kr^k=0\Rightarrow \overline{\sum_{k=0}^na_kr^k}=\overline{0}$$ $$\Rightarrow \sum_{k=0}^n\overline{a_k}\;\overline{r^k}=0\Rightarrow \sum_{k=0}^na_k\;\overline{r}^{\;k}=0\Rightarrow p\left(\overline{r}\right)=0\Rightarrow \overline{r}\text{ es raíz de }p(z).$$
  6. Como el polinomio $p(z)$ tiene todos los coeficientes reales, $-i$ también es raíz de $p(z),$ luego $$p(z)=(z-i)(z+i)q(z)=(z^2+1)q(z)\text{ con }q(z)\in\mathbb{C}[z].$$ Dividiendo $p(z)$ entre $z^2+1$ obtenemos $q(z)=4z^2-12z+9,$ o bien $q(z)=$ $4(z-3/2)^2.$ Las raíces de $p(z)$ son por tanto $\pm i$ (simples) y $3/2$ (doble).
  7. Sea $z=x+yi$ con $x,y$ números reales. Sustituyendo tenemos $$x^2+y^2-(3-4i)(x+yi)-(3+4i)(x-yi)+a=0,$$ $$x^2+y^2-(3x-4xi+3yi+4y)-(3x+4xi-3yi+4y)+a=0,$$ $$x^2+y^2-6x-8y+a=0,\quad (x-3)^2+(y-4)^2=25-a.$$ El radio de la circunferencia es $r=\sqrt{25-a}.$ Para que sea $r=3,$ se ha de verificar $a=16.$
  8. Podemos expresar $z^n-1=(z-1)(z-z_2)\ldots (z-z_n).$ Por otra parte, $$(1-z)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=z^n-1.$$ En consecuencia $(z-z_2)\ldots (z-z_n)=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1$ y dando a $z$ el valor $1,$ $$(1-z_2)(1-z_3)\ldots(1-z_n)=n.$$
  9. Veamos que la aplicación $f(z)=\left|z\right|$ es un homomorfismo entre los grupos multiplicativos $\mathbb{C}-\{0\}$ y $(0,+\infty).$ En efecto, para todo $z,w$ $\in \mathbb{C}$ se verifica $$f(zw)=\left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|=f(z)f(w).$$ Ahora bien $G=\ker f$ lo cual prueba que $G$ es subgrupo del grupo multiplicativo $\mathbb{C}-\{0\}$ y por ende, grupo multiplicativo.
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