Operaciones con números complejos

Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos.

1 Expresar en forma binómica de cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$

SOLUCIÓN

2 Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación  $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$

SOLUCIÓN

3 Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo.

SOLUCIÓN

4 $a)$  Demostrar que si $z\in\mathbb{C},$ entonces $\text{Re }z>0\Leftrightarrow \left|z-1\right|<\left|z+1\right|.$
$b)$  Demostrar que si $x+yi=(s+ti)^n$ con $n\in \mathbb{N},$ $x,y,s,t\in\mathbb{R},$ entonces $x^2+y^2=(s^2+t^2)^n.$

SOLUCIÓN

5 Demostrar que si $r$ es raíz de un polinomio $p(z)\in\mathbb{C}[z]$ con coeficientes reales, también $\overline{r}$ es raíz de $p(z).$

SOLUCIÓN

6 Sabiendo que el polinomio $p(z)=4z^4-12z^3+13z^2-12z +9$ tiene la raíz compleja $r=i,$ hallar todas sus raíces.

SOLUCIÓN

7 Determinar el valor real del parámetro $a$ para que la ecuación en $z$ $$\left|z\right|^2-(3-4i)z-(3-4i)\overline{z}+a=0$$ represente una circunferencia en el plano complejo de radio $3.$

SOLUCIÓN

8 Sean $z_1=1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n$ las distintas raíces enésimas de la unidad. Demostrar que $(1-z_2)(1-z_3)\ldots(1-z_n)=n.$

SOLUCIÓN

9 Sea $G=\{z\in \mathbb{C}:\left|z\right|=1\}.$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es grupo.

SOLUCIÓN
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