Números complejos: problemas diversos (1)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos.

1 Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$

SOLUCIÓN

3 Usando la forma trigonométrica de los números complejos, calcular la suma: $$S=1+\binom{n}{1}\cos x+\binom{n}{2}\cos 2x+\cdots+\binom{n}{n}\cos nx.$$

SOLUCIÓN

4 Sean $w_0,w_1,\ldots,w_{n-1}$ las raíces enésimas de la unidad y $k$ entero positivo. Calcular $S_k=w_0^k+w_1^k+\cdots+w_{n-1}^k.$

SOLUCIÓN

5 Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:$ $\;\;z^3-(5+i)z^2+(6+5i)z-6i=0.$

SOLUCIÓN

6 Sean $z$ y $w$ dos números complejos. Demostrar la relación $$\left|z+w\right|^2+\left|z-w\right|^2=2\left(\left|z\right|^2+\left|w\right|^2\right).$$ ¿Qué significado geométrico tiene esta identidad?

SOLUCIÓN

7 Siendo $z,w$ números complejos no nulos, demostrar la desigualdad$$\left|z+w\right|\geq \frac{1}{2}\left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)\left|\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{w}{\left|w\right|}\right|.$$

SOLUCIÓN

8 Sea $z$ un número complejo tal que $\left|z\right|>1$ y $n$ entero positivo. Demostrar que $$\frac{1}{\left|1+z^n\right|}\leq\frac{1}{\left|z\right|^n-1}$$

SOLUCIÓN

9 Sea $\lambda\in\mathbb{R}.$ Describir geométricamente el conjunto $$A=\{ z\in \mathbb{ C} : \left|z\right|=\lambda \left|z-1\right|\}.$$

SOLUCIÓN
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