Números complejos: problemas diversos (1)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos.

    Enunciado
  1. Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$
  2. Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$
  3. Usando la forma trigonométrica de los números complejos, calcular la suma: $$S=1+\binom{n}{1}\cos x+\binom{n}{2}\cos 2x+\cdots+\binom{n}{n}\cos nx.$$
  4. Sean $w_0,w_1,\ldots,w_{n-1}$ las raíces enésimas de la unidad y $k$ entero positivo. Calcular $S_k=w_0^k+w_1^k+\cdots+w_{n-1}^k.$
  5. Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:$ $\;\;z^3-(5+i)z^2+(6+5i)z-6i=0.$
  6. Sean $z$ y $w$ dos números complejos. Demostrar la relación $$\left|z+w\right|^2+\left|z-w\right|^2=2\left(\left|z\right|^2+\left|w\right|^2\right).$$ ¿Qué significado geométrico tiene esta identidad?
  7. Siendo $z,w$ números complejos no nulos, demostrar la desigualdad$$\left|z+w\right|\geq \frac{1}{2}\left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)\left|\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{w}{\left|w\right|}\right|.$$
  8. Sea $z$ un número complejo tal que $\left|z\right|>1$ y $n$ entero positivo. Demostrar que $$\frac{1}{\left|1+z^n\right|}\leq\frac{1}{\left|z\right|^n-1}$$
  9. Sea $\lambda\in\mathbb{R}.$ Describir geométricamente el conjunto $$A=\{ z\in \mathbb{ C} : \left|z\right|=\lambda \left|z-1\right|\}.$$
    Solución
  1. Usando que $\left|w\right|^2=w\overline{w}:$ $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 \Leftrightarrow\left|w_1 – w_ 2 \right| < \left|1-\overline{w_ 1 }w_2 \right|$$ $$\Leftrightarrow \left|w_1 – w_ 2 \right|^2 < \left|1-\overline{w_ 1 }w_2 \right|^2$$ $$\Leftrightarrow (w_1-w_2)(\overline{w_1}-\overline{w_2})<(1-\overline{w_ 1 }w_2)(1-w_1\overline{w_ 2 })$$ $$\Leftrightarrow \left|w_1\right|^2-w_2\overline{w_1}-w_1\overline{w_2}+\left|w_2\right|^2<1-w_2\overline{w_1}-w_1\overline{w_2}+\left|w_1\right|^2\left|w_2\right|^2$$ $$\Leftrightarrow \left|w_1\right|^2+\left|w_2\right|^2<1+\left|w_1\right|^2\left|w_2\right|^2$$ $$\Leftrightarrow \left|w_1\right|^2\left(1-\left|w_2\right|^2\right)<1-\left|w_2\right|^2 \underbrace{\Leftrightarrow}_{1-\left|w_2\right|^2<0} \left|w_1\right|^2>0,$$ y la última desigualdad es por hipótesis.
  2. Usando conocidas propiedades del módulo, $$\left|(1+i)z^3 +iz\right|\leq \left|(1+i)z^3\right|+\left|iz\right|=\left|1+i\right|\left|z\right|^3+\left|i\right|\left|z\right|$$ $$<\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{8}+1\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+4}{8}<\dfrac{2+4}{8}=\dfrac{3}{4}.$$
  3. Llamemos $H=\displaystyle\binom{n}{1}\operatorname{sen} x+\binom{n}{2}\operatorname{sen} 2x+\cdots+\binom{n}{n}\operatorname{sen} nx.$ Entonces, $$S+iH=1+\binom{n}{1}(\cos x+i\operatorname{sen} x)+\binom{n}{2}(\cos 2x+i\operatorname{sen} 2x)$$ $$+\ldots+\binom{n}{n}(\cos nx+i\operatorname{sen} nx)$$ $$=\binom{n}{0}1^n+\binom{n}{1}1^{n-1}(\cos x+i\operatorname{sen} x)+\binom{n}{2}1^{n-2}(\cos x+i\operatorname{sen} x)^2$$ $$+\ldots+\binom{n}{n}(\cos x+i\operatorname{sen} x)^n=\left(1+\cos x+\operatorname{sen}x\right)^n.$$ Usando la conocidas fórmulas de trigonometría $$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2},\quad \operatorname{sen}x=2\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},$$ podemos expresar $$S+iH=\left(2\cos^2\frac{x}{2}+2i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)^n$$ $$\left[2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\right)\right]^n=2^n\cos^n\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\right)^n$$ $$=2^n\cos^n\frac{x}{2}\left(\cos\frac{nx}{2}+i\operatorname{sen}\frac{nx}{2}\right).$$ Igualando partes reales obtenemos $$S=2^n\cos^n\frac{x}{2}\cos\frac{nx}{2}.$$
  4. Las raíces enésimas de la unidad son $$w_j=\cos\frac{2j\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{2j\pi}{n},\quad (j=0,1,2,\ldots,n-1).$$ Estás raíces se pueden expresar en la forma $$w_0=1,w_1=w_1,w_2=w_1^2,\ldots,w_{n-1}=w_1^{n-1}.$$ Por tanto $S_k=1+w_1^k+w_1^{2k}+\cdots +w_1^{k(n-1)}.$ Si $k$ es múltiplo de $n,$ $k=np$ entonces, $$S_k=1+\left(w_1^n\right)^p+\left(w_1^n\right)^{2p}+\cdots+\left(w_1^n\right)^{(n-1)p}=1+1+\cdots+1=n.$$ Si $k$ no es múltiplo de $n,$ entonces $w_1^k\neq 1$ y aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica: $$S_k=\frac{1\left(w_1^n-1\right)}{w_1^k-1}=0.$$
  5. Una simple inspección de los coeficientes de la ecuación, sugiere ensayar la posible solución $z=i.$ Tenemos $$i^3-(5+i)i^2+(6+5i)i=-i+5+i+6i-5-6i=0.$$ Usando el algoritmo de Ruffini $$\begin{array}{r|rrrr}
    & 1 & -5-i & 6+5i & -6i \\i & & i & -5i & 6i \\\hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} $$ y queda la ecuación $z^2-5z+6=0,$ cuyas raíces son $2$ y $3.$
  6. Desarrollando el primer miembro $$\left|z+w\right|^2+\left|z-w\right|^2=(z+w)\left(\overline{z}+\overline{w}\right)+(z-w)\left(\overline{z}-\overline{w}\right)$$ $$=z\overline{z}+w\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{w}+z\overline{z}-w\overline{z}-z\overline{w}+w\overline{w}$$ $$=2z\overline{z}+2w\overline{w}=2\left(\left|z\right|^2+\left|w\right|^2\right).$$ La identidad expresa el conocido teorema de geometría: la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de los lados.
  7. Desarrollando el segundo miembro y usando conocidas propiedades del módulo, $$\frac{1}{2}\left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)\left|\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{w}{\left|w\right|}\right|=\frac{1}{2}\left|\dfrac{\left|z\right|z}{\left|z\right|}+\frac{\left|z\right|w}{\left|w\right|}+\frac{\left|w\right|z}{\left|z\right|}+\frac{\left|w\right|w}{\left|w\right|}\right|$$ $$=\frac{1}{2}\left|z+w+\frac{\left|z\right|w}{\left|w\right|}+\frac{\left|w\right|z}{\left|z\right|}\right|=\frac{1}{2}\left|z+w+\frac{\left|z\right|^2w+\left|w\right|^2z}{\left|zw\right|}\right|$$ $$=\frac{1}{2}\left|z+w+\frac{z\overline{z}w+w\overline{w}z}{\left|zw\right|}\right|=\frac{1}{2}\left|z+w+\frac{zw\left(\overline{z}+\overline{w}\right)}{\left|zw\right|}\right|$$ $$\leq \frac{1}{2}\left(\left|z+w\right|+\left|\frac{zw\left(\overline{z}+\overline{w}\right)}{\left|zw\right|}\right|\right)=\frac{1}{2}\left(\left|z+w\right|+\frac{\left|zw\right|\left|\overline{z}+\overline{w}\right|}{\left|zw\right|}\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left|z+w\right|+\left|\overline{z}+\overline{w}\right|\right)=\frac{1}{2}\left(\left|z+w\right|+\left|\overline{z+w}\right|\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left|z+w\right|+\left|z+w\right|\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\left|z+w\right|=\left|z+w\right|.$$
  8. Por la desigualdad triangular, $$\left|z^n\right|=\left|z^n+1-1\right|\leq\left|z^n+1\right|+1.$$ Esto implica que $\left|z\right|^n-1\leq \left|z^n+1\right|.$ Dado que $\left|z\right|>1$, tenemos $$0<\left|z\right|^n-1\leq \left|z^n+1\right|.$$ Por tanto, $\dfrac{1}{\left|1+z^n\right|}\leq\dfrac{1}{\left|z\right|^n-1}.$
  9. Si $\lambda <0,$ $A$ es claramente el conjunto vacío. Si $\lambda=0$ queda $\left|z\right|=0$ con lo cual $A$ contiene únicamente al origen.
    Sea ahora $\lambda>0$ y $z=x+yi$ con $x,y$ reales. Entonces, $$\left|z\right|=\lambda \left|z-1\right|\Leftrightarrow \left|z\right|^2=\lambda^2 \left|z-1\right|^2$$ $$\Leftrightarrow x^2+y^2=\lambda^2\left((x-1)^2+y^2\right)$$ $$\Leftrightarrow x^2+y^2=\lambda^2\left(x^2-2x+1+y^2\right)$$ $$\Leftrightarrow \left(1-\lambda^2\right)x^2+\left(1-\lambda^2\right)y^2+2\lambda ^2x=\lambda^2.$$ Si $\lambda=1$ queda $2x=1,$ luego $A$ representa la recta $x=1/2.$ Si $\lambda \neq 1$ podemos escribir $$x^2+y^2+\frac{2\lambda^2}{1-\lambda^2}x=\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}$$ $$\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)^2+y^2=\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}+\frac{\lambda^4}{\left(1-\lambda^2\right)^2}$$ $$\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)^2+y^2=\frac{\lambda^2}{\left(1-\lambda^2\right)^2}.$$ En este caso $A$ representa una circunferencia de centro $C$ y radio $r,$ siendo $$C\left(-\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2},0\right),\quad r=\frac{\lambda}{\left|1-\lambda^2\right|}.$$
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