Raíz cuadrada de un número complejo

Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo.

Enunciado
Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica.

Solución
Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& 2xy=b.\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1)$$ De la segunda ecuación de $(1)$,  $xy=b/2$ y llamando $r_1=x^2,$ $r_2=-y^2$ tenemos $r_1r_2=-b^2/4.$ De la primera ecuación, $r_1+r_2=a.$ Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son $r_1$ y $r_2$ es $(r-r_1)(r-r_2)=0$ o bien $$r^2-ar-\frac{b^2}{4}=0.$$ Supongamos que $b\neq 0,$ entonces $$r_1=x^2=\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}>0,\quad r_2=-y^2=\frac{a- \sqrt{a^2+b^2}}{2}<0.$$ En consecuencia se verifica $$\left|x\right|=\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}.$$ Usando la relación $2xy=b$ podemos deducir la elección de los signos para las soluciones de $x$ e $y:$ $$\displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b>0,$$ $$\displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b<0.$$ Si $b=0,$ queda $\sqrt{a+0i}=\sqrt{a}.$ Por tanto, $$\displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left|a\right|\;\text{ si }\;a>0 \;\text{ y }\; b=0,$$ $$\displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left|a\right|i\;\text{ si }\;a<0 \;\text{ y } \;b=0,$$ $$\displaystyle\sqrt{a+bi}=0\;\text{ si }\;a=0 \;\text{ y } \;b=0.$$