Forma trigonométrica de los números complejos

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos.

1 Expresar en forma binómica
$1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$
Expresar en forma trigonométrica
$3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$

SOLUCIÓN

2 Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en forma binómica $$a)\;\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}.\quad b)\;(1-i)^{27}.$$

SOLUCIÓN

3 Expresar $\cos 6x$ y $\operatorname{sen }6x$ en función de $\cos x$ y $\operatorname{sen }x.$

SOLUCIÓN

4 Calcular:  $a)\;\sqrt[3]{1+i}.\;\;b)\;\sqrt[6]{1}.$

SOLUCIÓN

5 Resolver las ecuaciones:  $a)\;z^6+1=0.\quad b)\;z^4+4=0.$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que las raíces enésimas de un número complejo cualquiera son los productos de una de ellas por las raíces enésimas de la unidad.

SOLUCIÓN

7 Calcular el mayor valor entero $n,$ estrictamente negativo tal que $\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)^n$ sea imaginario puro.

SOLUCIÓN

8 Calcular  $(1+w)^n,$ siendo  $w=\cos 2\pi/3+i\operatorname{sen}2\pi/3.$

SOLUCIÓN

9 Calcular  $(1+\cos x+i\operatorname{sen}x)^n$  con $x\in\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN
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