Forma trigonométrica de los números complejos

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos.

    Enunciado
  1. Expresar en forma binómica
    $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$
    Expresar en forma trigonométrica
    $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$
  2. Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en forma binómica $$a)\;\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}.\quad b)\;(1-i)^{27}.$$
  3. Expresar $\cos 6x$ y $\operatorname{sen }6x$ en función de $\cos x$ y $\operatorname{sen }x.$
  4. Calcular: $a)\;\sqrt[3]{1+i}.\;\;b)\;\sqrt[6]{1}.$
  5. Resolver las ecuaciones: $a)\;z^6+1=0.\quad b)\;z^4+4=0.$
  6. Demostrar que las raíces enésimas de un número complejo cualquiera son los productos de una de ellas por las raíces enésimas de la unidad.
  7. Calcular el mayor valor entero $n,$ estrictamente negativo tal que $\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)^n$ sea imaginario puro.
  8. Calcular $(1+w)^n,$ siendo $w=\cos 2\pi/3+i\operatorname{sen}2\pi/3.$
  9. Calcular $(1+\cos x+i\operatorname{sen}x)^n$ con $x\in\mathbb{R}.$
    Solución
  1. $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}]=2[-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2]=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i.$
    $2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen } (-\pi/3)]=5[1/2-i\sqrt{3}/2]=5/2- 5\sqrt{3}i/2.$
    $3)$ El módulo es $\rho=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2.$ El argumento $\theta$ satisface $\tan \theta$ $=$ $-1/\sqrt{3}$ $=$ $-\sqrt{3}/3,$ por tanto $\theta=-\pi/6$ (4º cuadrante). Es decir, $$\sqrt{3}-i=2[\cos (-\pi/6)+i\operatorname{sen } (-\pi/6)].$$ $4)$ Tenemos $\rho=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$ y $\tan \theta$ $=$ $-1$, por tanto $\theta=3\pi/4$ (2º cuadrante). Es decir, $$-1+i=\sqrt{2}[\cos (3\pi/4)+i\operatorname{sen } (3\pi/4)].$$ $5)$ Tenemos $\rho=\sqrt{(-4)^2+(-4\sqrt{3})^2}=8$ y $\tan \theta$ $=$ $\sqrt{3},$ por tanto $\theta=-2\pi/3$ (3º cuadrante). Es decir, $$-4-4\sqrt{3}=8[\cos (-2\pi/3)+i\operatorname{sen } (-2\pi/3)].$$ $6)$ Por una simple consideración geométrica, $\rho=3,$ $\theta=-\pi/2,$ por tanto $$-3i=3[\cos (-\pi/2)+i\operatorname{sen } (-\pi/2)].$$
  2. $a)$ Usando la fórmula de De Moivre: $$\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}=\left(2[\cos \pi/6+i\operatorname{sen }\pi/6]\right)^{15}=2^{15}[\cos 15\pi/6+i\operatorname{sen }15\pi/6]$$ $$=2^{15}[\cos 15\pi/6+i\operatorname{sen }15\pi/6]=2^{15}[\cos 5\pi/2+i\operatorname{sen }5\pi/2]$$ $$=2^{15}[\cos (2\pi +\pi/2)+i\operatorname{sen }(2\pi+\pi/2)]=2^{15}[\cos\pi/2+i\operatorname{sen }\pi/2]=2^{15}i.$$ $b)$ Podemos proceder como en el apartado anterior, ahora bien dado que $(1-i)^2$ $=$ $1-1-2i$ $=-2i,$ $$(1-i)^{27}=\left((1-i)^2\right)^{13}(1-i)=(-2i)^{13}(1-i)=-2^{13}i^{13}(1-i)$$ $$=-2^{13}i(1-i)=-2^{13}-2^{13}i=-2^{13}(1+i).$$
  3. Usando la fórmula de De Moivre, $$(\cos x+i\operatorname{sen }x)^6=\cos 6x+i\operatorname{sen }6x.$$ Usando la fórmula del binomio de Newton, $$(\cos x+i\operatorname{sen }x)^6=\displaystyle\binom{6}{0}\cos^6 x+\binom{6}{1}(\cos^5 x)(i\operatorname{sen }x)$$ $$\displaystyle +\binom{6}{2}(\cos^4 x)(i\operatorname{sen }x)^2+\binom{6}{3}(\cos^3 x)(i\operatorname{sen }x)^3+\binom{6}{4}(\cos^2 x)(i\operatorname{sen }x)^4$$ $$\displaystyle +\binom{6}{5}(\cos x)(i\operatorname{sen }x)^5+\binom{6}{6}(i\operatorname{sen }x)^6=\cos^6 x+6i\cos^5 x \operatorname{sen }x$$ $$-15\cos^4 x \operatorname{sen }^2x-20i\cos^3 x \operatorname{sen }^3x+15 \cos^2 x \operatorname{sen }^4x+6i\cos x \operatorname{sen }^5x-\operatorname{sen }^6x.$$ Igualando partes real e imaginaria, $$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x \operatorname{sen }^2x+15 \cos^2 x \operatorname{sen }^4x-\operatorname{sen }^6x,$$ $$\operatorname{sen }6x=6\cos x \operatorname{sen }^5x-20\cos^3 x \operatorname{sen }^3x+6\cos x \operatorname{sen }^5x.$$
  4. $a)$ Usando la conocida fórmula de las raíces enésimas de un número complejo, $$\sqrt [3]{1+i}=\sqrt [3]{1(\cos \pi/4+i\operatorname{sen}\pi/4)}$$ $$=\sqrt [3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi/3}{4}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi/4}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right),\; (k=0,1,2)$$ $$=\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right),\; (k=0,1,2).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, obtenemos las tres raíces $$k=0\Rightarrow w_0=\cos \frac{\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{12},$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{9\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{9\pi}{12},$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{17\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{17\pi}{12}.$$ $b)$ De manera análoga $$\sqrt [6]{1}\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{1(\cos 0+i\operatorname{sen}0)}$$ $$=\sqrt [6]{1}\left(\cos \left(\frac{0}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{0}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right),\; (k=0,1,\ldots,5)$$ $$=\cos \frac{k\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{k\pi}{3},\; (k=0,1,\ldots,5).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\cos 0+i\operatorname{sen} 0=1,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{2\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$ $$k=3\Rightarrow w_2=\cos \pi+i\operatorname{sen} \pi=-1.$$ Como $\sqrt [6]{1}$ son las raíces del polinomio con coeficientes reales $z^6-1$ las otras dos raíces han de ser las conjugadas de $w_1$ y $w_2.$ En consecuencia, las raíces sextas de la unidad son $$\pm1,\quad \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad -\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$
  5. $a)$ Usando la conocida fórmula de las raíces enésimas de un número complejo, $$z^6+1=0\Leftrightarrow z^6=-1\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{-1}\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{1(\cos \pi+i\operatorname{sen}\pi)}$$ $$=\sqrt [6]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right),\; (k=0,1,\ldots,5)$$ $$=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right),\; (k=0,1,\ldots,5).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\cos \frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{\pi}{2}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{2}=i,$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{5\pi}{6}+i\operatorname{sen} \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.$$ Como $z^6+1$ es polinomio con coeficientes reales, las otras tres raíces han de ser las conjugadas de las anteriores, por tanto las soluciones de $z^6+1=0$ son $$\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{1}{2}i,\;\;\pm i,\;\;-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{1}{2}i.$$ $b)$ Procediendo de manera análoga, $$z^4+4=0\Leftrightarrow z^4=-4\Leftrightarrow z=\sqrt [4]{-4}\Leftrightarrow z=\sqrt [4]{4(\cos \pi+i\operatorname{sen}\pi)}$$ $$=\sqrt [4]{4}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right)\right),\; (k=0,1,2,3)$$ $$=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)\right),\; (k=0,1,2,3).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=1+i,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\operatorname{sen} \frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-1+i.$$ Como habíamos comentado en el apartado anterior las otras dos raíces han de ser las conjugadas de las anteriores, por tanto las soluciones de $z^4+4=0$ son $$1\pm i,\;\;-1\pm i.$$
  6. Sea $z$ un número complejo y sea $w_0$ una raíz enésima de $z,$ es decir $w_0^n=z.$ Las raíces enésimas de la unidad son $$\cos \frac{2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{n},\quad k=0,1,2,\ldots n-1.$$ Llamando $\epsilon=\cos 2\pi/n+i\operatorname{sen}2\pi/n,$ las raíces enésimas de la unidad se pueden expresar como $$U_n=\{1,\epsilon,\epsilon^2,\ldots,\epsilon^{n-1}\}=\{\epsilon^k:k=0,1,2,\ldots,n-1\}.$$ Se verifica para todo $k=0,1,2,\ldots,n-1$ $$\left(w_0\epsilon^k\right)^n=w_0^n\epsilon ^{kn}= w_0^n\left(\epsilon^n\right)^k=z\cdot1^k=z,$$ es decir el conjunto $w_0U_n$ está formado por raíces enésimas de $z.$ Además, los argumentos de las raíces enésimas de la unidad son distintos dos a dos, por tanto $w_0U_n$ tiene exactamente $n$ elementos los cual prueba la proposición.
  7. Aplicamos la fórmula de De Moivre: $$\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)^n=\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}\right)\right)^n$$ $$=\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^n\left(\cos \frac{n\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{n\pi}{6}\right).$$ Para que sea imaginario puro, se ha de verificar $\cos n\pi/6=0,$ y el mayor entero estrictamente negativo que lo cumple se obtiene evidentemente para $n\pi/6=-\pi/2,$ es decir para $n=-3.$
  8. Tenemos, $$1+w+w^2=1+\cos \frac{2\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}+\cos \frac{4\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{4\pi}{3}$$ $$=1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=0\Rightarrow 1+w=-w^2.$$ En consecuencia, $$(1+w)^n=\left(-w^2\right)^n=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^n$$ $$=\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\right)^n=\cos \frac{n\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{n\pi}{3}.$$
  9. Tenemos $$1+\cos x+i\operatorname{sen}x=2\cos^2\frac{x}{2}+2i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$ $$=2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\right)$$ $$\Rightarrow (1+\cos x+i\operatorname{sen}x)^n=2^n\cos^n\frac{x}{2}\left(\cos\frac{nx}{2}+i\operatorname{sen}\frac{nx}{2}\right).$$
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